Олимпиада Туймаада по математике. Старшая лига. 2012 год


Задача №1.  Таня и Серёжа по очереди ставят фишки на свободные клетки шахматной доски. Первым ходом Таня ставит фишку на любую клетку доски. Каждым следующим ходом Серёжа должен ставить фишку в тот столбец, куда только что походила Таня, а Таня — в ту строку, куда только что походил Серёжа. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выиграет при правильной игре? ( А. Голованов )
комментарий/решение
Задача №2.  Квадратный трехчлен $P(x)$, имеющий два вещественных корня, для всех $x$ удовлетворяет неравенству $P(x^3+x)\geq P(x^2+1)$. Найдите сумму корней трехчлена $P(x)$. ( А. Голованов, К. Кохась, М. Иванов )
комментарий/решение
Задача №3.  Внутри треугольника $ABC$ выбрана точка $P$ таким образом, что $\angle PAB=\angle PCB={1\over 4}(\angle A+\angle C)$. $BL$ — биссектриса этого треугольника. Прямая $PL$ пересекает описанную окружность треугольника $APC$ в точке $Q$. Докажите, что прямая $QB$ — биссектриса угла $AQC$. ( С. Берлов )
комментарий/решение
Задача №4.  Пусть $p=4k+3$ — простое число, а $m\over n$ — такая несократимая дробь, что $${1\over 0^2+1}+{1\over 1^2+1}+\dots+{1\over (p-1)^2+1}={m\over n}.$$ Докажите, что $2m-n$ делится на $p$. ( А. Голованов )
комментарий/решение
Задача №5.  Решите уравнение ${1\over n^2}-{3\over 2n^3}={1\over m^2}$ в натуральных числах. ( А. Голованов )
комментарий/решение
Задача №6.  Четырехугольник $ABCD$ является одновременно вписанным и описанным. Вписанная окружность касается его сторон $AB$ и $CD$ в точках $X$ и $Y$ соответственно. Перпендикуляры, восставленные к сторонам $AB$ и $CD$ в точках $A$ и $D$ соответственно, пересекаются в точке $U$, перпендикуляры к ним же в точках $X$ и $Y$ пересекаются в точке $V$, и, наконец, в точках $B$ и $C $ — в точке $W$. Докажите, что $U$, $V$, $W$ лежат на одной прямой. ( А. Голованов )
комментарий/решение
Задача №7.  Положительные числа $a$, $b$, $c$ таковы, что $abc=1$. Докажите, что $${1\over 2a^2+b^2+3}+{1\over 2b^2+c^2+3}+{1\over 2c^2+a^2+3}\leq {1\over 2}.$$ ( В. Аксенов )
комментарий/решение
Задача №8.  На ребрах ориентированного графа расставлены целые числа, не кратные 2012. Назовем весом вершины разность между суммой чисел на всех входящих в нее ребрах и суммой чисел на всех выходящих из нее ребрах. Известно, что вес каждой вершины делится на 2012. Докажите, что на ребрах того же графа можно так расставить ненулевые целые числа, по модулю меньшие 2012, чтобы все вершины имели нулевой вес. ( У. Татт )
комментарий/решение