Олимпиада Туймаада по математике. Старшая лига. 2013 год


Задача №1.  На столе лежит 100 куч камней. Два игрока делают ходы по очереди. За один ход разрешается взять со стола произвольное (ненулевое) количество камней из любого числа куч, не превосходящего 99. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Для любого начального положения укажите, кто выиграет при правильной игре — начинающий или его противник. ( К. Кохась )
комментарий/решение
Задача №2.  Точки $X$ и $Y$ внутри ромба $ABCD$ таковы, что точка $Y$ лежит внутри выпуклого четырёхугольника $BXDC$ и $2\angle XBY=2\angle XDY=\angle ABC$. Докажите, что прямые $AX$ и $CY$ параллельны. ( С. Берлов )
комментарий/решение
Задача №3.  Вершины связного графа нельзя покрасить меньше чем в $n+1$ цвет так, чтобы соседние вершины были разного цвета. Докажите, что можно удалить из графа $n(n-1)/2$ ребер без потери связности. ( В. Дольников )
комментарий/решение
Задача №4.  Докажите, что для любых положительных $x$, $y$, $z$, для которых $xyz=1$, выполнено неравенство $${x^3\over x^2+y}+{y^3\over y^2+z}+{z^3\over z^2+x}\geq {3\over 2}.$$ ( А. Голованов )
комментарий/решение
Задача №5.  Докажите, что любой многочлен четвертой степени можно представить в виде $P(Q(x))+R(S(x))$, где $P$, $Q$, $R$, $S$ — квадратные трехчлены. ( А. Голованов )
комментарий/решение
Задача №6.  Решите уравнение $p^2-pq-q^3=1$ в простых числах. ( А. Голованов )
комментарий/решение(1)
Задача №7. Точки $A_1$, $A_2$, $A_3$, $A_4$ — вершины правильного тетраэдра с ребром 1. Точки $B_1$ и $B_2$ лежат внутри фигуры, ограниченной плоскостью $A_1A_2A_3$ и сферами радиуса 1 с центрами $A_1$, $A_2$, $A_3$. Докажите, что $B_1B_2 < \max(B_1A_1, B_1A_2, B_1A_3, B_1A_4)$. ( А. Купавский )
комментарий/решение
Задача №8.  Карточки с номерами от 1 до $2^n$ раздают $k$ детям, $1\leq k\leq 2^n$, так чтобы каждый ребенок получил хотя бы одну карточку. Докажите, что количество способов раздать карточки делится на $2^{k-1}$, но не делится на $2^k$. ( М. Иванов )
комментарий/решение