қазақша
русскийМатематикадан «Туймаада» олимпиадасы. Кіші лига. 2014 жыл
Есеп №1. Әртүрлі 3 жай сан берілсін. Осы сандардың қосындысы, ең көп дегенде осы сандардың нешеуіне бөліне алады?
(
А. Голованов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №2. Алтыбұраышты торшалар салынған қағазда, $k\times \ell $ торшадан тұратын “параллелограм” белгіленсін (әр жолда $\ell $ торшасы бар $k$ горизонтал жолдардан тұрады; мысал ретінде суретте $3\times 4$ параллелограмы көрсетілген).
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №3. $\angle BAK=\angle CAL=90{}^\circ $ болатындай, $ABC$ үшбұрышының $BC$ қабырғасында $K$ және $L$ нүктелері табылды. $A$ төбесінен түсірілген биіктіктің ортасы, $KL$ кесіндісінің ортасы және $ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбердің центрі бір түзудің бойында жататынын дәлелдеңіз.
(
П. Кожевников,
А. Акопян,
С. Боев
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №4. Оң $a$, $b$, $c$ сандары $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=3$ шартын қанағаттандырса, келесі теңсіздікті дәлелдеңіз: $\dfrac{1}{\sqrt{{{a}^{3}}+1}}+\dfrac{1}{\sqrt{{{b}^{3}}+1}}+\dfrac{1}{\sqrt{{{c}^{3}}+1}}\le \dfrac{3}{\sqrt{2}}$.
(
Н. Александров
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №5. Барлық нақты $x$ үшін, $P\left( x \right)=Q\left( \ell \left( x \right) \right)$ болатындай, $P\left( x \right)$ және $Q\left( x \right)$ екі квадрат үшмүше үшін $\ell \left( x \right)$ сызықтық функциясы табылды. Осындай сызықтық $\ell \left( x \right)$ функциялар нешеу болуы мүмкін?
(
А. Голованов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №6. Центрі, $ABC$ үшбұрышының $A$ төбесінде орналасқан ${{\omega }_{A}}$ шеңберінің радиусы, $BC$ қабырғасымен жанасатын іштейсырт шербердің радиусына тең. Дәл осылай ${{\omega }_{B}}$ және ${{\omega }_{C}}$ шеңберлері салынады. Егер осы шеңберлердің кез-келген екеуі жанасса, әрбір екі шеңбер жанасатынын дәлелдеңіз.
(
Л. Емельянов
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №7. Жазықтықта, параллель көшіріле алатын, $n$ қара және $n$ ақ шаршылар орналасқан. Түстері әртүрлі әрбір екі шаршыда, бір ортақ нүкте бар. Кем-дегенде $n$ шаршыларға ортақ, бір нүкте бар екенін дәлелдеңіз.
(
В. Дольников
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №8. Лена өзенінің сол жақ жағалауында $m$ ауыл бар, ал оң жақ жағалауында $n$ ауыл бар және тағы бір ауыл аралда орналасқан. $(m+1,n+1) > 1$ екені белгілі. Натурал саны бар паром, өзен арқылы бөлінген, әрбір екі ауыл арасында қатынайды. Ауыл тұрғындары, өздерінің ауылдарына қатынайтын әрбір паромның нөмірі әртүрлі және осы нөмірлер натурал сандар тізбегін құрайтынын айтты. Кем-дегенде бір ауыл тұрғындары, қателесетінін дәлелдеңіз.
(
К. Кохась
)
комментарий/решение
комментарий/решение