Олимпиада Туймаада по математике. Старшая лига. 2015 год


Задача №1.  На футбольном поле тренировалось $n$ футболистов — нападающих и вратарей. Всего на тренировке было забито $k$ голов. Докажите, что после тренировки Фабио Капелло может так раздать номера от 1 до $n$ игрокам, что для любого гола разность между номерами нападающего и вратаря была не менее $n-k$. ( С. Берлов )
комментарий/решение
Задача №2.  В треугольнике $ABC$ проведена медиана $BD$. Биссектрисы углов $ABD$ и $ACB$ перпендикулярны. Найдите наибольшее возможное значение угла $BAC$. ( С. Берлов )
комментарий/решение(1)
Задача №3.  Многочлен $P(x,y)$ с вещественными коэффициентами таков, что $P(x+2y, x+y)=P(x,y)$. Докажите, что для некоторого многочлена $Q(t)$ имеет место равенство $P(x,y)=Q\left((x^2-2y^2)^2\right)$. ( А. Голованов )
комментарий/решение
Задача №4.  Для каждого $n$ представим число $n!$ в виде $ab^2$, где $a$ свободно от квадратов. Докажите, что для любого $\varepsilon > 0$ при всех достаточно больших $n$ выполнено неравенство $2^{(1-\varepsilon)n} < a < 2^{(1+\varepsilon)n}$. ( М. Иванов )
комментарий/решение
Задача №5.  К натуральному числу прибавляют его наибольший собственный делитель, к получившемуся прибавляют его наибольший собственный делитель и т. д. Докажите, что после выполнения нескольких операций получится число, кратное $3^{2000}$. ( А. Голованов )
комментарий/решение
Задача №6.  Даны целые числа $0\leq b\leq c\leq d\leq a$, причем $a > 14$. Докажите, что не всякое натуральное число $n$ можно записать в виде $$ n=x(ax + b) + y(ay + c) + z(az + d), $$ где $x$, $y$, $z$ — некоторые целые числа. ( К. Кохась )
комментарий/решение
Задача №7.  В треугольнике $ABC$ точка $M$ — середина стороны $AB$, точка $O$ — центр описанной окружности. Оказалось, что $R-r=OM$. Биссектриса внешнего угла при вершине $A$ пересекает прямую $BC$ в точке $D$, а биссектриса внешнего угла при вершине $C$ пересекает прямую $AB$ в точке $E$. Найдите все возможные значения угла $CED$. ( Д. Ширяев )
комментарий/решение
Задача №8.  На плоскости отмечено $k(k+1)/2+1$ точек, некоторые из которых соединили непересекающимися отрезками (в том числе ни одна из точек не лежит на отрезке, соединяющим другие точки). Оказалось, что плоскость разбилась на параллелограммы и бесконечную область. Какое наибольшее число отрезков могло быть проведено? ( А. Купавский, А. Полянский )
комментарий/решение