қазақша
русскийРайонная олимпиада, 2015-2016 учебный год, 11 класс
Задача №1. Докажите, что для любых целых чисел $a,~b,~c,~d$ число
$abcd\left( {{a}^{2}}-{{b}^{2}} \right)\left( {{a}^{2}}-{{c}^{2}} \right)\left( {{a}^{2}}-{{d}^{2}} \right)\left( {{b}^{2}}-{{c}^{2}} \right)\left( {{b}^{2}}-{{d}^{2}} \right)\left( {{c}^{2}}-{{d}^{2}} \right)$ кратно $7$.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №2. В треугольнике $ABC$ справедливы следующие соотношения: $AB=5$, $BC=10$ и $\angle ABC=90{}^\circ $. $DEFG$ — квадрат, у которого вершины $D$ и $E$ лежат на отрезке $BC$, вершина $F$ лежит на отрезке $AC$, а вершина $G$ лежит на окружности с центром в точке $A$, проходящей через точку $B$. Найдите площадь $DEFG$.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №3. Положительные числа $x,~y$ удовлетворяют соотношению $xy=4$. Найдите наибольшее возможное значение выражения
$\dfrac{1}{x+3}+\dfrac{1}{y+3}.$
комментарий/решение(4)
комментарий/решение(4)
Задача №4. Решите уравнение ${{\left( \sqrt{2+\sqrt{3}} \right)}^{r}}+{{\left( \sqrt{2-\sqrt{3}} \right)}^{r}}=14$ в рациональных числах.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №5. На доске записаны числа $11$ и $13$. За один ход можно дописать одно число, равное сумме каких-то двух уже записанных на доске различных чисел. Можно ли за несколько таких ходов получить число $2015$?
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №6. Диагонали параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $O$, а биссектрисы углов $\angle DAC$ и $\angle DBC$ пересекаются в точке $T$. Известно, что $\overrightarrow{TD}+\overrightarrow{TC}=\overrightarrow{TO}$. Найдите величины всех углов треугольника $ABT$.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)