Олимпиада имени Леонарда Эйлера
2015-2016 учебный год, I тур регионального этапа


Задача №1.  Числа $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $7$ записали по кругу в некотором порядке. Назовём записанное число $\textit{хорошим}$, если оно равно сумме двух чисел, записанных рядом с ним. Каково наибольшее возможное количество хороших чисел среди записанных? ( Е. Бакаев )
комментарий/решение(1)
Задача №2.  В каждой клетке таблицы $100 \times 100$ записано одно из чисел $1$ или $-1$. Могло ли оказаться, что ровно в 99 строках суммы чисел отрицательны, а ровно в 99 столбцах — положительны? ( Д. Ненашев )
комментарий/решение(1)
Задача №3.  В трапеции $ABCD$ точка $M$ — середина основания $AD$. Известно, что $\angle ABD = 90^\circ$ и $BC = CD$. На отрезке $BD$ выбрана точка $F$ такая, что $\angle BCF = 90^\circ$. Докажите, что $MF \perp CD$. ( Н. Чернега )
комментарий/решение(1)
Задача №4.  Петя выбрал $10$ последовательных натуральных чисел и каждое записал либо красным, либо синим карандашом (оба цвета присутствуют). Может ли сумма наименьшего общего кратного всех красных чисел и наименьшего общего кратного всех синих чисел оканчиваться на $2016$? ( Р. Женодаров, О. Дмитриев )
комментарий/решение(1)