Районная олимпиада, 2010-2011 учебный год, 10 класс


Задача №1.  $A$, $B$, $C$ — три различные нечетные цифры. Известно, что $s=\overline{ABC}+\overline{BCA}+\overline{CAB}$ — трёхзначное число. Найдите $s$. Через $\overline{abc}$ обозначается число, десятичная запись которого состоит из цифр $a, b, c$ в указанном порядке.
комментарий/решение(2)
Задача №2.  На стороне $BC$ равностороннего треугольника $ABC$ построена полуокружность, лежащая вне треугольника. На ней выбраны точки $D$ и $E$ так, что $BD=DE=EC$. Докажите, что отрезки $AD$ и $AE$ делят сторону $BC$ на три равные части.
комментарий/решение
Задача №3.  В математическом соревновании, на котором предлагается решить 4 задачи, принимают участие 25 школьников, Каждая задача оценивается только как решенная или нерешенная (частичные решения не рассматриваются). Докажите, что либо найдутся 4 участника, которые решили одни и те же задачи (или все четверо не решили ни одной), либо 2 участника, каждый из которых решил те, и только те задачи, которые не решил другой.
комментарий/решение
Задача №4.  Докажите, что для любых натуральных $n>1$ и $k>1$ число $n^{k+2}-n^k$ делится на 12.
комментарий/решение(2)
Задача №5.  Сумма положительных чисел $x, y, z$ равна 2. Докажите, что выполняется неравенство $$ \frac{1} {x} + \frac{1} {y} + \frac{1} {z} + \frac{9} {4} \leq \frac{1} {{x^2 }} + \frac{1} {{y^2 }} + \frac{1} {{z^2 }}. $$
комментарий/решение(1)
Задача №6.  Докажите, что на плоскости существует 2011 различных точек, не лежащие все на одной прямой, все попарные расстояния между которыми – натуральные числа.
комментарий/решение(1)