57-я Международная Математическая Oлимпиада
Гонконг, 2016 год


Задача №1.  Дан треугольник $BCF$ с прямым углом при вершине $B$. Точка $A$ на прямой $CF$ такова, что $FA = FB$ и $F$ лежит между $A$ и $C$. Точка $D$ выбрана так, что $DA = DC$ и $AC$ — биссектриса угла $DAB.$ Точка $E$ выбрана так, что $EA = ED$ и $AD$ — биссектриса угла $EAC$. Точка $M$ — середина отрезка $CF$. Пусть точка $X$ такова, что $AMXE$ — параллелограмм (в котором $AM \parallel EX$ и $AE \parallel MX$). Докажите, что прямые $BD$, $FX$ и $ME$ пересекаются в одной точке.
комментарий/решение
Задача №2.  Найдите все положительные целые $n$, для которых в каждую клетку таблицы $n \times n$ можно записать ровно одну из букв $I$, $M$ или $O$ так, что:
• в каждой строке и в каждом столбце ровно треть составляют буквы $I$, ровно треть составляют буквы $M$, и ровно треть составляют буквы $O$; а также
• на каждой из диагоналей, количество клеток которой кратно трём, ровно треть составляют буквы $I$, ровно треть составляют буквы $M$, и ровно треть составляют буквы $O$.
Примечание: Если строки и столбцы таблицы $n \times n$ занумерованы числами от $1$ до $n$ в обычном порядке, то каждой клетке соответствует пара положительных целых чисел $(i, j)$, где $1 \times i$, $j \times n$. Для $n > 1$ в таблице суммарно есть $4n - 2$ диагоналей двух типов. Любая диагональ первого типа состоит из клеток $(i, j)$, для которых сумма $i + j$ постоянна, а любая диагональ второго типа состоит из клеток $(i, j)$, для которых разность $i - j$ постоянна.
комментарий/решение
Задача №3.  Пусть $P = A_1A_2\ldots A_k$ — выпуклый многоугольник на плоскости. Вершины $A_1$, $A_2$, $\ldots$, $A_k$ имеют целые координаты и лежат на одной окружности. Обозначим через $S$ площадь многоугольника $P$. Нечётное положительное целое $n$ таково, что квадраты длин всех сторон многоугольника $P$ являются целыми числами, делящимися на $n$. Докажите, что $2S$ — целое число, делящееся на $n$.
комментарий/решение
Задача №4.  Назовём множество, состоящее из положительных целых чисел, хрупким, если оно состоит не менее, чем из двух элементов, и каждый его элемент имеет общий простой делитель хотя бы с одним из остальных элементов этого множества. Пусть $P(n) = n^2+ n + 1$. Найдите наименьшее положительное целое $b$, для которого найдётся неотрицательное целое $a$ такое, что множество $ \{P(a + 1), P(a + 2), \ldots, P(a + b)\}$ является хрупким.
комментарий/решение
Задача №5.  На доске записано уравнение $(x - 1)(x - 2) \ldots (x - 2016) = (x - 1)(x - 2) \ldots (x - 2016).$ Таким образом, в каждой его части записано по $2016$ линейных сомножителей. Найдите наименьшее возможное значение $k$, при котором можно стереть ровно $k$ из этих $4032$ линейных сомножителей так, чтобы в каждой части осталось хотя бы по одному из сомножителей и получившееся уравнение не имело вещественных корней.
комментарий/решение(1)
Задача №6.  На плоскости расположено $n \geq 2$ отрезков так, что любые два из них пересекаются по внутренней точке, а никакие три из них не имеют общей точки. Иван выбирает один из концов каждого отрезка и сажает в него лягушку лицом к другому концу этого отрезка. Затем он $n - 1$ раз хлопает в ладоши. При каждом хлопке каждая из лягушек немедленно прыгает вперёд в следующую точку пересечения на её отрезке. Лягушки никогда не меняют направления своих прыжков. Иван хочет изначально рассадить лягушек так, чтобы никакие две из них никогда не оказались в одной точке пересечения одновременно.
(a) Докажите, что Иван всегда может добиться желаемого, если $n$ нечётно.
(b) Докажите, что Иван никогда не сможет достичь желаемого, если $n$ чётно.
комментарий/решение
результаты