Городская олимпиада по математике среди физ-мат школ г. Алматы, 2016 год


Задача №1.  Последовательность ${{x}_{1}},{{x}_{2}},\ldots ,{{x}_{n}}$ такова, что ${{x}_{n+2}}={{x}_{n}}-\dfrac{1}{{{x}_{n+1}}}$, ${{x}_{1}}=20$, ${{x}_{2}}=13$. Существует ли такой номер $N$, что ${{x}_{N}}=0$?
комментарий/решение(1)
Задача №2.  Сумма положительных чисел $a$, $b$ и $c$ равна 1. Докажите неравенство $\dfrac{1}{1+4{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{1+4{{b}^{2}}}+\dfrac{1}{1+4{{c}^{2}}}\ge 2.$
комментарий/решение(1)
Задача №3.  В остроугольном треугольнике $ABC$ проведены высоты $A{{A}_{1}}$, $B{{B}_{1}}$ и $C{{C}_{1}}$. К окружности описанной вокруг треугольника $ABC$ в точках $A$ и $C$ проведены касательные, пересекающиеся в точке $Q$. Прямая, проходящая через середину стороны $AC$ и ортоцентр треугольника $ABC$ пересекает прямую ${{A}_{1}}{{C}_{1}}$ в точке $F$. Доказать, что точки $Q$, ${{B}_{1}}$ и $F$ лежат на одной прямой.
комментарий/решение(1)
Задача №4.  Решите в натуральных числах уравнение ${{x}^{x}}={{y}^{3y}}$.
комментарий/решение