қазақша
русскийРайонная олимпиада, 2011-2012 учебный год, 10 класс
Задача №1. Прямоугольный участок пола в помещении покрыт квадратной плиткой одинакового размера. На границе участка использовали плитку красного цвета, а внутри участка — зеленого. Понадобилось поровну плиток красного и зеленого цвета. Сколько всего плиток могло быть использовано?
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №2. Может ли десятичная запись факториала натурального числа оканчиваться одиннадцатью нулями? Напомним, что $n!=1\cdot 2 \cdot 3 \dots\cdot n$.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №3. Докажите, что для любого натурального $k\geq 6$ квадрат можно разбить на $k$ квадратов (среди которых могут быть одинаковые).
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №4. Брат и сестра испекли пиццу в форме равностороннего треугольника. Сестра выбирает точку внутри треугольника, а брат делает прямой разрез, проходящий через эту точку, и берет себе понравившийся кусок. Какую точку должна выбрать сестра, чтобы гарантировать себе кусок максимально возможной площади?
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №5. В зависимости от параметра $a$ найдите число вещественных решений $(x,y)$ системы
$
\left\{
\begin{array}{rcl}
|x|+|y| =1,\\
x^2 + y^2 = a.\\
\end{array}
\right.
$
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №6. Вещественные числа $c$ и $d$ удовлетворяют системе уравнений
$\left\{
\begin{array}{rcl}
c^3 - 3c^2 + 5c - 17 = 0,\\
d^3 - 3d^2 + 5d + 11 = 0.\\
\end{array}
\right.
$
Найдите сумму $c+d$.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)