20-я Балканская математическая олимпиада среди юниоров г. Варна, Болгария, 2017 год


Задача №1.  Найдите все шестерки последовательных натуральных чисел таких, что для какой-нибудь их перестановки $a,b,c,d,e,f$ выполнено равенство $ab+cd=ef.$
комментарий/решение
Задача №2.  Для попарно различных натуральных чисел $x$, $y$ и $z$ докажите неравенство $(x+y+z)(xy+xy+yz-2) \geq 9xyz.$ Для каких $x$, $y$ и $z$ достигается равенство?
комментарий/решение
Задача №3.  Остроугольный треугольник $ABC$ $(AB \neq BC)$ вписан в окружность $\Gamma$, центром которой является точка $O$. Пусть $M$ — середина стороны $BC$, а точка $D$ лежит на $\Gamma$ так, что $AD \perp BC.$ Рассмотрим точки $T$ и $Q$, лежащие по одну сторону от прямой $BC$, такие, что $BDCT$ — параллелограмм и $\angle BQM=\angle BCA,$ $\angle CQM=\angle CBA.$ Пусть прямая $AO$ пересекает $\Gamma$ в точке $E$ $(E \neq A)$, а описанная окружность треугольника $ETQ$ пересекает $\Gamma$ в точке $X \neq E.$ Докажите, что точки $A$, $M$ и $X$ лежат на одной прямой.
комментарий/решение
Задача №4.  На плоскости дан правильный $2n$-угольник $P$: $A_{1}A_{2} \dots A_{2n}$, где $n$ — натуральное число. Будем говорить, что точка $S$, лежащая на одной из сторон $P$, может быть видна из точки $E$, лежащей вне $P$, если отрезок $SE$ не содержит других точек лежащих на $P$ кроме $S$. Окрасим все точки на сторонах $P$ кроме вершин в три цвета (вершины $P$ остаются бесцветными) так, что каждая сторона окрашена в один цвет и каждый цвет использован хотя бы раз. Более того, из каждой точки вне $P$ могут быть видны точки на сторонах $P$ двух или более цветов. Найдите всевозможное количество таких раскрасок $P$ (Две раскраски многоугольников считаются разными, если хотя бы одна из сторон окрашена иначе).
комментарий/решение(1)
результаты