қазақша
русскийОлимпиада имени Леонарда Эйлера
2016-2017 учебный год, II тур заключительного этапа
Задача №1. Некоторое натуральное число $a$ разделили с остатком на числа 1, 2, 3, $\ldots$, 1000. Могло ли так случиться, что среди остатков ровно по 10 раз встретятся числа 0, 1, 2, 3, $\ldots$, 99?
(
С. Берлов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №2. В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ углы $A$ и $C$ равны $100^\circ$. На сторонах $AB$ и $BC$ выбраны точки $X$ и $Y$ соответственно так, что $AX = CY$. Оказалось, что прямая $YD$ параллельна биссектрисе угла $ABC$. Найдите угол $AXY$.
(
С. Берлов,
А. Кузнецов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №3. Дана окружность длины 90. Можно ли отметить на ней 10 точек так, чтобы среди дуг с концами в этих точках имелись дуги со всеми целочисленными длинами от 1 до 89?
(
К. Кноп
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №4. Дано нечётное натуральное число $a$, большее 100. На доску выписали все натуральные числа вида $\frac{a-{{n}^{2}}}{4}$, где $n$ — натуральное число. Оказалось, что при $n\le \sqrt{a/5}$ все они простые. Докажите, что и каждое из остальных выписанных на доску натуральных чисел простое или равно единице.
(
А. Храбров
)
комментарий/решение
комментарий/решение