3-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2016 год, первая лига, 7-8 классы


Задача №1.  Али хочет добраться из точки $A$ в точку $B$ (см. рис.). По дороге ему нельзя заходить в закрашенные участки плоскости, а в остальные — можно. Путешествовать Али можно не только по линиям сетки, но и по всей плоскости. Помогите Али найти самый короткий путь из точки $A$ в точку $B$. Просто нарисуйте путь и посчитайте его длину.


комментарий/решение(1)
Задача №2.  Вокруг треугольника $ABC$ $(AC>AB)$ описана окружность $\omega$. На стороне $AC$ и на окружности $\omega$ выбрали точки $X$ и $Y$ соответственно так, что $CX=CY=AB$. При этом точки $A$ и $Y$ лежат по разные стороны от прямой $BC$. Прямая $XY$ пересекает окружность $\omega$ второй раз в точке $P$. Докажите, что $PB=PC$.
комментарий/решение(1)
Задача №3.  В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ нет параллельных сторон. На каждой паре соседних сторон четырёхугольника $ABCD$ построили параллелограммы. Докажите, что среди четырех новых точек ровно одна лежит внутри четырёхугольника $ABCD$.
комментарий/решение
Задача №4.  В прямоугольном треугольнике $ABC$ ($\angle A=90^{\circ}$) серединный перпендикуляр к гипотенузе $BC$ пересекает прямую $AC$ в точке $K$. Серединный перпендикуляр к отрезку $BK$ пересекает прямую $AB$ в точке $L$. Оказалось, что $CL$ — биссектриса угла $ACB$. Найдите все возможные значения углов $B$ и $C$.
комментарий/решение
Задача №5.  Известно, что в выпуклом четырёхугольнике $ABCD$: $\angle ADC=135^{\circ}$, $\angle ADB -\angle ABD=2\angle DAB=4\angle CBD$, $BC=\sqrt{2} CD$. Докажите, что $AB=BC+AD$.
комментарий/решение