1. Олимпиадалар тізімі
  2. Математика олимпиадалары
  3. Дистанциялық олимпиадалар
  4. Геометриядан Иран олимпиадасы
  5. 2016 жыл
  6. Екінші лига, 9-10 сыныптар

Геометриядан Иран олимпиадасы, 2016 жыл, 2-ші лига (9-10 сыныптар)


Есеп №1. $ABCD$ трапециясында $AB \parallel CD$, ал $\omega_1$ және $\omega_2$ — диаметрлері сәйкесінше $AD$ және $BC$ болатын шеңберлер. $\omega_1$ және $\omega_2$ шеңберлерінен сәйкесінше кез келген $X$ және $Y$ нүктелері алынған. $XY$ кесіндісінің ұзындығы трапецияның жартыпериметрінен артық емес екенін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)
Есеп №2. $C_1$ және $C_2$ шеңберлері $A$ және $B$ нүктелерінде қиылысады. $C_1$-ге $A$ нүктесінде жүргізілген жанама $C_2$-ны $P$ нүктесінде, ал $PB$ түзуі $C_1$-ды екінші рет $Q$ нүктесінде қияды ($Q$ нүктесі $C_2$-нің сыртында жатыр). $C_2$-ге $Q$ нүктесінен жүргізілген жанама $C_1$ және $C_2$-ны сәйкесінше $C$ және $D$ нүктелерінде қияды ($A$ және $D$ нүктелері $PQ$-ға қарағанда жеке екі жақта жатыр). $AD$ түзуі $CAP$ бұрышын қақ бөлетінін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)
Есеп №3. Кез келген екеуі өзара ұқсас болатын $N$ төртбұрыштарға бөлуге болатын үшбұрыш бар болсын ($N$ — натурал сан). $N$-нің барлық мүмкін мәндерін табыңыздар.
комментарий/решение(1)
Есеп №4. $ABC$ үшбұрышында $\angle{A}=90^\circ$ және $\omega$ — оған сырттай сызылған шеңбер. $\omega$-ға $A$ нүктесінде жүргізілген жанама $BC$ түзуін $P$ нүктеде қияды. $M$ нүктесі — $\omega$-ның кіші $AB$ доғасының ортасы болсын, ал $PM$ түзуі $\omega$-ны екінші рет $Q$ нүктесінде қисын. $\omega$-ға $Q$ нүктесінде жүргізілген жанама $AC$-ны $K$ нүктесінде қияды. $\angle{PKC}=90^\circ$ екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение
Есеп №5. $\omega$ және $\omega'$ шеңберлері $A$ және $B$ нүктелерінде қиылысады. $\omega$-ға $A$ нүктесінде жүргізілген жанама $\omega'$-ты $C$ нүктесінде, ал $\omega'$-ке $A$ нүктесінде жүргізілген жанама $\omega$-ны $D$ нүктесінде қияды. $CAD$ бұрышының ішкі биссектрисасы $\omega$ мен $\omega'$-ты сәйкесінше $E$ және $F$ нүктелерінде, ал $CAD$ бұрышының сыртқы биссектрисасы $\omega$ мен $\omega'$-ты сәйкесінше $X$ және $Y$ нүктелерінде қисын. $XY$ кесіндісінің орта перпендикуляры $BEF$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңберді жанайтынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)