1-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2014 год, первая лига


Задача №1.  Дан прямоугольный треугольник с углами $\angle A=90^\circ$ и $\angle C=30^\circ$. Обозначим через $\Gamma$ окружность, проходящую через точку $A$ и касающуюся отрезка $BC$ в его середине. Пусть $\Gamma$ пересекает отрезок $AC$ в точке $N$, а описанную окружность $\triangle ABC$ во второй раз точке $M$. Докажите, что $MN \perp BC$.
комментарий/решение(2)
Задача №2.  Вписанная окружность треугольника $ABC$ касается сторон $BC$, $AC$ и $AB$ в точках $D$, $E$ и $F$ соответственно. Обозначим через $K$ и $L$ основания перпендикуляров, опущенных из точек $F$ и $E$ соответственно на прямую $BC$. Пусть эти перпендикуляры пересекают вписанную окружность во второй раз в точках $M$ и $N$ соответственно. Докажите равенство $\frac{S_{BMD}}{S_{CND}}=\frac{DK}{DL}$.
комментарий/решение
Задача №3.  Каждый из учеников Мехди и Мортеза нарисовали вписанный $93$-угольник. Обозначим первый $93$-угольник через $A_1A_2 \ldots A_{93}$, а второй через $B_1B_2 \ldots B_{93}$. Известно, что $A_iA_{i+1} \parallel B_iB_{i+1}$ для каждого $1 \leq i \leq 93$ (полагается, что $A_{94}=A_1$ и $B_{94}=B_1$). Докажите, что отношение $\frac{A_iA_{i+1}}{B_iB_{i+1}}$ не зависит от выбора $i$.
комментарий/решение
Задача №4.  В треугольнике $ABC$ выполняется равенство $\angle C = \angle A+ 90^\circ$. На отрезке $BC$ за точку $C$ взята точка $D$ такая, что $AC=AD$. На плоскости взята точка $E$ такая, что точки $A$ и $E$ лежат по разные стороны от прямой $BC$ и $\angle EBC= \angle A$, $\angle EDC=\frac{1}{2} \angle A$. Докажите, что $\angle CED= \angle ABC$.
комментарий/решение(1)
Задача №5.  Да дуге $BC$ (не содержащей точки $A$), описанной окружности $\triangle ABC$, взяты точки $X$ и $Y$ такие, что $\angle BAX = \angle CAY$. Пусть точка $M$ — середина хорды $AX$. Докажите справедливость неравенства $BM+CM>AY.$
комментарий/решение(1)