4-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2017 год, третья лига, 11-12 классы


Задача №1.  Вписанная окружность треугольника $ABC$ с центром $I$ касается стороны $BC$ в точке $D$. Прямая $DI$ пересекает прямую $AC$ в точке $X$. Касательная, проведенная из точки $X$ к вписанной окружности (и отличная от $AC$), пересекает прямую $AB$ в точке $Y$. Пусть прямые $YI$ и $BC$ пересекаются в точке $Z$. Докажите, что $AB=BZ$.
комментарий/решение
Задача №2.  Даны шесть попарно непересекающихся окружностей, радиус каждой из которых не меньше 1. Докажите, что радиус любой окружности, пересекающей все шесть данных, также не меньше 1.
комментарий/решение
Задача №3.  Пусть $O$ — центр описанной окружности треугольника $ABC$. Прямая $CO$ пересекает высоту, проведенную из вершины $A$, в точке $K$. Пусть $P$ и $M$ — середины отрезков $AK$ и $AC$ соответственно. Пусть прямые $PO$ и $BC$ пересекаются в точке $Y$, а описанная окружность треугольника $BCM$ вторично пересекает прямую $AB$ в точке $X$. Докажите, что четырехугольник $BXOY$ вписанный.
комментарий/решение(1)
Задача №4.  Окружности $\omega_1$, $\omega_2$ и $\omega_3$ касаются прямой $l$ в точках $A$, $B$ и $C$ соответственно ($B$ лежит между $A$ и $C$), $\omega_2$ внешним образом касается двух других окружностей. Пусть $X$ и $Y$ — точки пересечения $\omega_2$ со второй общей внешней касательной окружностей $\omega_1$ и $\omega_3$. Перпендикуляр, опущенный из точки $B$ на прямую $l$, вторично пересекает $\omega_2$ в точке $Z$. Докажите, что окружность, построенная на $AC$ как на диаметре, касается $ZX$ и $ZY$.
комментарий/решение
Задача №5.  Сфера $S$ касается плоскости. Пусть $A$, $B$, $C$, $D$ — четыре точки этой плоскости такие, что никакие три из них не лежат на одной прямой. Рассмотрим точку $A'$ такую, что $S$ касается граней тетраэдра $A'BCD$. Точки $B'$, $C'$, $D'$ определяются аналогично. Докажите, что точки $A'$, $B'$, $C'$, $D'$ лежат в одной плоскости и плоскость $(A'B'C'D')$ касается $S$.
комментарий/решение