Геометриядан Иран олимпиадасы, 2017 жыл, 3-ші лига (11-12 сыныптар)

Есеп №1. $ABC$ үшбұрышына центрі $I$ болатын іштей сызылған шеңбер $BC$ қабырғасын $D$ нүктесінде жанайды. $DI$ түзуі $AC$ түзуін $X$ нүктесінде қияды. $X$ нүктесінен іштей сызылған шеңберге жүргізілген жанама ($AC$-дан өзге) $AB$-ны $Y$ нүктесінде қисын. Егер $YI$ және $BC$ түзулері $Z$ нүктесінде қиылысса, $AB=BZ$ екенін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение

Есеп №2. Жазықтықта алты шеңбер берілген, олардың ешқандай екеуі өзара қиылыспайды және әр шеңбердің радиусы 1-ден кем емес. Барлық алты шеңберді қиятын кез келген шеңбердің радиусы 1-ден кем емес екенін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение

Есеп №3. $O$ нүктесі $ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбердің центрі. $CO$ түзуі үшбұрыштың $A$ төбесінен түсірілген биіктікті $K$ нүктесінде қияды. $P$ және $M$ нүктелері сәйкесінше $AK$ және $AC$ кесінділерінің орталары. Егер $PO$ түзуі $BC$-ны $Y$, ал $BCM$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбер $AB$-ны екінші рет $X$ нүктесінде қиса, $BXOY$ төртбұрышының шеңберге іштей сызылғанын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)

Есеп №4. $\omega_1$, $\omega_2$ және $\omega_3$ шеңберлері $l$ түзуін сәйкесінше $A$, $B$ және $C$ нүктелерінде жанайды ($B$ нүктесі $A$ мен $C$ нүктелерінің арасында жатыр), ал $\omega_2$ шеңбері қалған екі шеңберді сырттай жанайды. $X$ және $Y$ нүктелері $\omega_1$ және $\omega_3$ шеңберлеріне $l$-ден өзгеше ортақ сырттай жанаманың $\omega_2$ шеңберімен қиылысу нүктелері болсын. $B$-дан $l$-ге түсірілген перпендикуляр $\omega_2$-ні екінші рет $Z$ нүктесінде қисын. Диаметрі $AC$ болатын шеңбер $ZX$ және $ZY$ түзулерін жанайтынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)

Есеп №5. $S$ сферасы жазықтықты жанайды. Ешбір үшеуі бір түзудің бойында жатпайтын $A$, $B$, $C$ және $D$ нүктелері сол жазықтықта жатыр. $S$ сферасы $A'BCD$ тетраэдірінің жақтарын жанайтындай $A'$ нүктесін қарастырайық. Дәл солай $B'$, $C'$ және $D'$ нүктелері анықталсын. $A'$, $B'$, $C'$ және $D'$ нүктелерінің бір жазықтықта жататынын және $(A'B'C'D')$ жазықтығының $S$-ті жанайтынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)