қазақша
русскийРеспубликанская олимпиада по физике 2016, 9 класс, теоретический тур
Задача №1. «Солянка» (10,0 балла)
Эта задача состоит из трех независимых частей.
Часть 1А (3,0 балла) Цепочка массы $m$, длиной $l$ висит неподвижно, касаясь нижним концом поверхности стола. Цепочку отпускают. Найдите зависимость силы давления цепочки на стол от времени. Ускорение свободного падения $g$.
Часть 1B (3,5 баллов) Кубик льда, имеющий температуру $0^{\circ}$ С бросили в калориметр с горячим чаем. К моменту установления теплового равновесия температура чая понизилась на $12^{\circ}$ С. Когда в калориметр бросили другой такой же кубик льда, температура чая понизилась еще на $10^{\circ}$ С. Найдите массу кубика льда. Первоначальная масса чая $100$ г. Теплоемкостью калориметра, теплообменом с окружающей средой и примесями заварки в чае пренебречь.
Часть 1С (3,5 баллов) Собирающая линза дает изображение точечного источника $S$, расположенного на главной оптической оси на расстоянии $l$ от нее, в точке $S'$ на расстоянии $f$ от линзы. Линза треснула по диаметру, после чего ее разлом отшлифовали и склеили так, что она стала давать два симметричных относительно оси изображения $S''$ и $S'''$, расстояние между которыми равно $a$. Найдите толщину слоя, который был снят при шлифовке.
комментарий/решение
Эта задача состоит из трех независимых частей.
Часть 1А (3,0 балла) Цепочка массы $m$, длиной $l$ висит неподвижно, касаясь нижним концом поверхности стола. Цепочку отпускают. Найдите зависимость силы давления цепочки на стол от времени. Ускорение свободного падения $g$.
Часть 1B (3,5 баллов) Кубик льда, имеющий температуру $0^{\circ}$ С бросили в калориметр с горячим чаем. К моменту установления теплового равновесия температура чая понизилась на $12^{\circ}$ С. Когда в калориметр бросили другой такой же кубик льда, температура чая понизилась еще на $10^{\circ}$ С. Найдите массу кубика льда. Первоначальная масса чая $100$ г. Теплоемкостью калориметра, теплообменом с окружающей средой и примесями заварки в чае пренебречь.
Часть 1С (3,5 баллов) Собирающая линза дает изображение точечного источника $S$, расположенного на главной оптической оси на расстоянии $l$ от нее, в точке $S'$ на расстоянии $f$ от линзы. Линза треснула по диаметру, после чего ее разлом отшлифовали и склеили так, что она стала давать два симметричных относительно оси изображения $S''$ и $S'''$, расстояние между которыми равно $a$. Найдите толщину слоя, который был снят при шлифовке.
комментарий/решение
Задача №2. Что не договорил Архимед? (10,0 балла)
Из водонепроницаемого твердого материала изготовлен тонкостенный сосуд в форме параллелипипеда размерами $a\times a\times L$, где $a=10$ см, а $L=50$ см, и массой $m_0=1$ кг. В сосуд долили ртуть некоторой массой $m$, плотность которой равна $\rho=13,6\times 10^3$ кг/м$^3$, и герметично закрыли. Затем сосуд с ртутью опустили в глубокий водоем очень большого размера, так что он плавает, а изменением уровня воды в нем можно пренебречь. В дальнейших расчетах примите, что плотность воды равна $\rho_0=1\times 10^3$ кг/м$^3$, а ускорение свободного падения составляет $g=9,8$ м/с$^2$. Закон Архимеда утверждает, что масса вытесненной сосудом воды равна массе сосуда с ртутью. Однако он ничего не говорит о том, в каком положении будет плавать сосуд в водоеме. Вполне логично предположить, что возможны два таких положения, показанные на рисунке ниже. Назовем их положение $№1$ и положение $№2$ соответственно.
1. Найдите и рассчитайте максимальную массу ртути $m_\text{cr}$, при которой сосуд вообще сможет плавать?
2. Пусть сосуд плавает в положении $№1$. Найдите и рассчитайте глубину погружения его нижней грани относительно поверхности воды при $m=2$ кг;
3. Пусть сосуд плавает в положении $№2$. Найдите и рассчитайте глубину погружения его нижней грани относительно поверхности воды при $m=2$ кг;
4. Пусть сосуд плавает в положении $№1$. Найдите и рассчитайте изменение потенциальной энергии $U_1$ системы (сосуд с ртутью плюс вытесненная вода) относительно уровня воды в водоеме при $m=2$ кг;
5. Пусть сосуд плавает в положении $№2$. Найдите и рассчитайте изменение потенциальной энергии $U_2$ системы (сосуд с ртутью плюс вытесненная вода) относительно уровня воды в водоеме при $m=2$ кг. В физике известен следующий принцип: любая система стремится занять положение с наименьшей возможной потенциальной энергией. В нашем случае возможны два положения, но лишь одно из них имеет наименьшую потенциальную энергию, оно и соответствует устойчивому положению равновесия, в котором будет плавать сосуд в водоеме.
6. В каком из положений, $№1$ или $№2$, будет плавать сосуд при $m=2$ кг;
7. При каком значении $m=m'$ возможны оба положения равновесия?
8. Пусть в сосуд постепенно добавляют ртуть, так что масса $m$ меняется от нуля до $m_\text{cr}$, найденного в пункте $1$. Постройте графическую зависимость глубины $H$ погружения нижней грани сосуда относительно поверхности воды от массы налитой ртути $m$.
комментарий/решение
Из водонепроницаемого твердого материала изготовлен тонкостенный сосуд в форме параллелипипеда размерами $a\times a\times L$, где $a=10$ см, а $L=50$ см, и массой $m_0=1$ кг. В сосуд долили ртуть некоторой массой $m$, плотность которой равна $\rho=13,6\times 10^3$ кг/м$^3$, и герметично закрыли. Затем сосуд с ртутью опустили в глубокий водоем очень большого размера, так что он плавает, а изменением уровня воды в нем можно пренебречь. В дальнейших расчетах примите, что плотность воды равна $\rho_0=1\times 10^3$ кг/м$^3$, а ускорение свободного падения составляет $g=9,8$ м/с$^2$. Закон Архимеда утверждает, что масса вытесненной сосудом воды равна массе сосуда с ртутью. Однако он ничего не говорит о том, в каком положении будет плавать сосуд в водоеме. Вполне логично предположить, что возможны два таких положения, показанные на рисунке ниже. Назовем их положение $№1$ и положение $№2$ соответственно.
1. Найдите и рассчитайте максимальную массу ртути $m_\text{cr}$, при которой сосуд вообще сможет плавать?
2. Пусть сосуд плавает в положении $№1$. Найдите и рассчитайте глубину погружения его нижней грани относительно поверхности воды при $m=2$ кг;
3. Пусть сосуд плавает в положении $№2$. Найдите и рассчитайте глубину погружения его нижней грани относительно поверхности воды при $m=2$ кг;
4. Пусть сосуд плавает в положении $№1$. Найдите и рассчитайте изменение потенциальной энергии $U_1$ системы (сосуд с ртутью плюс вытесненная вода) относительно уровня воды в водоеме при $m=2$ кг;
5. Пусть сосуд плавает в положении $№2$. Найдите и рассчитайте изменение потенциальной энергии $U_2$ системы (сосуд с ртутью плюс вытесненная вода) относительно уровня воды в водоеме при $m=2$ кг. В физике известен следующий принцип: любая система стремится занять положение с наименьшей возможной потенциальной энергией. В нашем случае возможны два положения, но лишь одно из них имеет наименьшую потенциальную энергию, оно и соответствует устойчивому положению равновесия, в котором будет плавать сосуд в водоеме.
6. В каком из положений, $№1$ или $№2$, будет плавать сосуд при $m=2$ кг;
7. При каком значении $m=m'$ возможны оба положения равновесия?
8. Пусть в сосуд постепенно добавляют ртуть, так что масса $m$ меняется от нуля до $m_\text{cr}$, найденного в пункте $1$. Постройте графическую зависимость глубины $H$ погружения нижней грани сосуда относительно поверхности воды от массы налитой ртути $m$.
комментарий/решение
Задача №3. Что такое стабилизатор? (10,0 балла)
Стабилизатором напряжения называется электронное устройство, напряжение на котором практически не изменяется при варьировании электрического тока в некотором достаточно широком интервале. Для простоты рассмотрим полупроводниковый стабилизатор напряжения, представляющий собой цилиндрический стержень из кремния радиуса $r=1\times 10^{-3}$ м и длины $l=2\cdot 10^{-1}$ м. Стержень находится в воздухе, температура которого постоянна и равна $t_0=0^{\circ}$ С. Количество теплоты, которое отводится воздухом с единицы площади поверхности стержня в единицу времени, определяется законом Ньютона-Рихмана $$q=\alpha(t-t_0 ),$$ где $\alpha$ — коэффициент теплоотдачи, $t$ — температура поверхности стержня.
Температурный коэффициент сопротивления — $\gamma=-1,70\cdot 10^{-3}$ $^{\circ}$ С$^{-1}$;
Коэффициент теплоотдачи — $\alpha=50$ Вт/(м$^2$ $\cdot$ С). Внимание! В задаче рассматривается стационарный режим работы стабилизатора напряжения после установления теплового равновесия, поэтому рассчитывать временные характеристики процессов не требуется!
комментарий/решение
Стабилизатором напряжения называется электронное устройство, напряжение на котором практически не изменяется при варьировании электрического тока в некотором достаточно широком интервале. Для простоты рассмотрим полупроводниковый стабилизатор напряжения, представляющий собой цилиндрический стержень из кремния радиуса $r=1\times 10^{-3}$ м и длины $l=2\cdot 10^{-1}$ м. Стержень находится в воздухе, температура которого постоянна и равна $t_0=0^{\circ}$ С. Количество теплоты, которое отводится воздухом с единицы площади поверхности стержня в единицу времени, определяется законом Ньютона-Рихмана $$q=\alpha(t-t_0 ),$$ где $\alpha$ — коэффициент теплоотдачи, $t$ — температура поверхности стержня.
Температурный коэффициент сопротивления — $\gamma=-1,70\cdot 10^{-3}$ $^{\circ}$ С$^{-1}$;
Коэффициент теплоотдачи — $\alpha=50$ Вт/(м$^2$ $\cdot$ С). Внимание! В задаче рассматривается стационарный режим работы стабилизатора напряжения после установления теплового равновесия, поэтому рассчитывать временные характеристики процессов не требуется!
- Рассчитайте значение сопротивления стержня $R_0$ при температуре $0^{\circ}$ С;
- Запишите формулу зависимости сопротивления стержня $R$ от его температуры $t$. Рассчитайте значение сопротивления стержня при $t=100^{\circ}$ С;
- Мощность теплоотдачи $P_0$ стабилизатора определяется формулой $P_0=At$. Рассчитайте значение коэффициента.
- Получите зависимость температуры стержня $t$ от напряжения $U$ на нем. Постройте график этой зависимости так, чтобы напряжение менялось в интервале от 0 до 3 В;
- Из полученного выше выражения следует, что существует максимальное напряжение $U_{\max}$, при котором может работать данный стабилизатор. Найдите $U_{\max}$ и рассчитайте его;
- Постройте вольтамперную характеристику стабилизатора, то есть график зависимости приложенного к нему напряжения $U$ от протекающей силы тока $I$ так, чтобы сила тока изменялась в интервале от 0 до 10 А;
- При малых напряжениях на стабилизаторе оно оказывается пропорциональным силе тока $I$, то есть $U=R_{\text{eff}} I$. Определите коэффициент пропорциональности $R_{\text{eff}}$ этой зависимости;
- Найдите напряжение на стабилизаторе при силе тока, стремящейся в бесконечность, то есть $I\to \infty$;
- Постройте вольтамперную характеристику цепи, состоящей из стабилизатора и подключенного к нему параллельно резистора сопротивлением $R_1=10$ Ом. График постройте на том же рисунке, что и в пункте 6. Построения обоснуйте; Стабилизатор в рассмотренной выше модели не может стабилизировать напряжение. У реального стабилизатора при достаточно больших температурах зависимость удельного сопротивления от температуры перестает быть линейной. Реальная зависимость $\rho(t)$ приведена на графике ниже.
- Используя приведенную реальную зависимость $\rho(t)$, постройте вольтамперную характеристику реального стабилизатора.
- Найдите из графика и запишите численное значение напряжения стабилизации $U_{\text{st}}$ стабилитрона, которое не зависит от силы протекающего через него тока.
- Укажите диапазон изменения силы тока $I_{\min},I_{\max}$, в котором стабилизатор стабилизирует напряжение в цепи. Необходимо, чтобы в этом диапазоне напряжение изменялось не более чем на $3,3\%$.
комментарий/решение