Областная олимпиада по математике, 2019 год, 9 класс


Задача №1.  Для пяти попарно различных натуральных чисел вычислили всевозможные суммы каждых трех из этих чисел. Какое наименьшее число различных сумм могло получиться при этом?
комментарий/решение(1)
Задача №2.  Найдите целую часть отношения $\frac{A}{B}$ для чисел $A = \frac{1}{{1 \cdot 2}} + \frac{1}{{3 \cdot 4}} + \ldots + \frac{1}{{997 \cdot 998}} + \frac{1}{{999 \cdot 1000}} $ и $B = \frac{1}{{501 \cdot 1000}} + \frac{1}{{502 \cdot 999}} + \ldots + \frac{1}{{999 \cdot 502}} + \frac{1}{{1000 \cdot 501}}.$ (Целой частью числа $x$ называется наибольшее целое число, не превышающее $x.$)
комментарий/решение(3)
Задача №3.  Окружность с центром в точке $I$, вписанная в неравнобедренный треугольник $ABC$, касается сторон $AB,$ $BC$ и $AC$ в точках $D,$ $E$ и $F$ соответственно. Прямые $AI$ и $BI$ пересекают прямую $EF$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Пусть $G$ — середина отрезка $AB.$ Докажите, что точки $M,$ $N,$ $D$ и $G$ лежат на одной окружности.
комментарий/решение(1)
Задача №4.  Две окружности $\Gamma_1$ и $\Gamma_2$ с центрами в точках $O_1$ и $O_2$ соответственно, пересекаются в точках $A$ и $B.$ Прямая $O_1 A$ пересекает $\Gamma_2$ во второй раз в точке $C,$ а прямая $O_2 A$ пересекает $\Gamma_1$ во второй раз в точке $D.$ Прямая $\ell$, параллельная $AD$, пересекает $\Gamma_1$ в точках $B$ и $E.$ Известно, что $O_1A \parallel DE.$ Докажите, что $CD \perp O_2 C$.
комментарий/решение(1)
Задача №5.  Сколькими способами можно раскрасить все клетки таблицы $2019\times 2019$ в черный и белый цвета так, чтобы в каждом квадрате $2 \times 2$ было ровно две белые и две черные клетки?
комментарий/решение(1)
Задача №6.  Найдите все такие пары натуральных чисел $n$ и $k$, что число $2^k+10n^2+n^4$ является полным квадратом.
комментарий/решение(1)