Республиканская олимпиада по математике, 2019 год, 9 класс


Задача №1.  Мэр города любит красивые автомобильные номера. Номер, по его мнению, является красивым, если с помощью расстановки знаков $+$, $-$, $\times$, $/$ и скобок между и вокруг цифр номера, можно получить выражение, значение которого делится на $10$. К радости мэра, в этом месяце в городе планируется реформа автомобильных номеров. Какое наименьшее количество цифр должно содержаться в номере, чтобы каждый автомобиль в городе гарантированно обладал красивым номером? (Все номера в городе состоят только из цифр.) ( Абдрахманов А. )
комментарий/решение(1)
Задача №2.  Дан вписанный выпуклый пятиугольник $ABCDE$. Окружность с центром в точке $E$ и радиусом $AE$ пересекает отрезки $AC$ и $AD$ в $X$ и $Y$ соответственно, а окружность с центром в точке $C$ радиусом $BC$ пересекает отрезки $BE$ и $BD$ в точках $Z$ и $T$ соответственно. Прямые $XY$ и $ZT$ пересекаются в точке $F$. Докажите, что $DF$ и $EC$ перпендикулярны. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1)
Задача №3.  Сумма положительных чисел $a$, $b$ и $c$ равна $3$. Докажите неравенство $\sqrt[3]{{\frac{1}{{3{a^2}(8b + 1)}}}} + \sqrt[3]{{\frac{1}{{3{b^2}(8c + 1)}}}} + \sqrt[3]{{\frac{1}{{3{c^2}(8a + 1)}}}} \ge 1.$ ( Аубекеров Д. )
комментарий/решение(4)
Задача №4.  В правильном $n$-угольнике ($n\ge4$) каждая диагональ красится в один из двух цветов. Затем в каждой паре одноцветных пересекающихся диагоналей удаляют одну из этих диагоналей. Какое наибольшее число диагоналей могло остаться при таких операциях? (Диагонали, выходящие из одной вершины, пересекающимися не считаются.) ( Ильясов С. )
комментарий/решение(3)
Задача №5.  В прямоугольном треугольнике $ABC$ точка $D$ симметрична точке $C$ относительно гипотенузы $AB$. Пусть $M$ — произвольная точка отрезка $AC$, а $P$ — основание перпендикуляра из точки $C$ на прямую $BM$. Точка $H$ — середина отрезка $CD$. На отрезке $CH$ (внутри угла $HPB$) нашлась такая точка $N$ , что $\angle DPH = \angle NPB$. Докажите, что точки $M$, $P$, $N$ и $D$ лежат на одной окружности. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(3)
Задача №6.  Найдите все тройки целых чисел $(a,b,c)$ и натуральное $k$ такие, что $a^2+b^2+c^2=3k(ab+bc+ca).$
комментарий/решение(4)
результаты