қазақша
русскийОлимпиада имени Леонарда Эйлера 2018-2019 учебный год, I тур заключительного этапа
Задача №1. Даны два числа (не обязательно целых), не равные 0. Если каждое из них увеличить на единицу, их произведение увеличится вдвое. А во сколько раз увеличится их произведение, если каждое из исходных чисел возвести в квадрат и затем уменьшить на единицу?
(
И. Рубанов,
Д. Ширяев
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №2. Устройство КК42 работает так: если положить в него четыре шарика, то в первый лоток вывалится второй по весу шарик (т.е. шарик веса $b,$ если $a > b > c > d)$, а во второй лоток вывалятся остальные. С другим числом шариков устройство не работает. Имеются 100 одинаковых на вид шариков попарно различных весов. Их пронумеровали числами $1, 2, \ldots, 100.$ Как, использовав прибор не более 100 раз, найти самый тяжелый шарик?
(
К. Кноп
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №3. Дано 1000-значное число без нулей в записи. Докажите, что из этого числа можно вычеркнуть несколько (возможно, ни одной) последних цифр так, чтобы получившееся число не было натуральной степенью числа, меньшего 500.
(
С. Берлов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №4. Дан выпуклый четырёхугольник $ABSC.$ На диагонали $BC$ выбрана точка $P$ так, что $AP = CP > BP.$ Точка $Q$ симметрична точке $P$ относительно середины диагонали $BC,$ а точка $R$ симметрична точке $Q$ относительно прямой $AC.$ Оказалось, что $\angle SAB = \angle QAC$ и $\angle SBC = \angle BAC.$ Докажите, что $SA = SR.$
(
С. Берлов
)
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)