қазақша
русскийОлимпиада имени Леонарда Эйлера 2018-2019 учебный год, II тур заключительного этапа
Задача №1. Графики линейных функций $y = ax+c,$ $y = ax+d,$ $y = bx+e,$ $y = bx+f$ пересекаются в вершинах квадрата $P.$ Могут ли точки $K(a, c),$ $L(a, d),$ $M(b, e),$ $N(b, f)$ располагаться в вершинах квадрата, равного квадрату $P$?
(
И. Рубанов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №2. Точки $M$ и $N$ — середины сторон $AB$ и $BC$ соответственно треугольника $ABC.$ На продолжении отрезка $CM$ за точку $M$ отмечена точка $D.$ Оказалось, что $BC = BD = 2$ и $AN = 3.$ Докажите, что $\angle ADC = 90^\circ.$
(
А. Кузнецов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №3. На доске написаны числа 1, 2, $\ldots,$ 1000. Разрешается стереть любые два числа $a$ и $b$ и записать вместо них числа $ab$ и $a^2+b^2.$ Можно ли такими операциями добиться, чтобы среди чисел, написанных на доске, было хотя бы 700 одинаковых?
(
М. Антипов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №4. Дано натуральное число $k$. В городе несколько детей, они ходят в несколько кружков. Известно, что в каждый кружок ходит не более $3k$ детей, любой ребёнок ходит ровно в три кружка, и для любых двух детей есть кружок, в которой оба они ходят. Какое наибольшее количество детей может быть в городе?
(
И. Богданов,
Г. Челноков
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)