Городская Жаутыковская олимпиада по математике, 7 класс, 2019 год


Задача №1.  Натуральное число называется замечательным, если оно представимо в виде произведения двух натуральных чисел с одинаковыми суммами цифр. Например, число 2020 замечательное, так как $2020=2 \cdot 1010.$ Докажите, что среди первых 2019 натуральных чисел, количество замечательных не более 888. ( Ибатулин И. )
комментарий/решение(1)
Задача №2.  На доске написано число 12345678987654321. Канат и Жанат играют в следующую игру: на каждом ходу разрешается выбрать одну цифру (кроме самой первой) и уменьшить ее на 1 или 2 (но при этом, появление отрицательной разности недопустимо). Игру начинает Канат, далее ходят по очереди. Проигрывает тот, кто не сможет сделать ход. Кто выигрывает при правильной игре?
комментарий/решение(3)
Задача №3.  В треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $AD$. Чему равен угол $BAC,$ если угол $B$ в два раза больше угла $C$ и $CD=AD$?
комментарий/решение(1)
Задача №4.  Найдите все целые решения уравнения $8x^3-4=y(6x-y^2).$
комментарий/решение(1)
Задача №5.  Прямоугольный торт массой 900 грамм разрезан двумя горизонтальными и двумя вертикальными прямыми на 9 прямоугольных кусочков (прямые параллельны сторонам прямоугольника). Докажите, что всегда можно выбрать 3 прямоугольных кусочка, не имеющих общих сторон, чтобы их суммарная масса была не меньше 300 грамм.
комментарий/решение(1)
Задача №6.  Как найти общий вес 10 арбузов за 6 взвешиваний, если есть электронные весы, на котором можно взвесить только по 3 арбуза за раз? (На весах нельзя взвешивать 1 или 2 арбуза.)
комментарий/решение(1)
Задача №7.  Биссектриса угла $BAC,$ квадрата $ABCD,$ пересекает сторону $BC$ в точке $M.$ Докажите, что $AC=BC+BM.$
комментарий/решение(2)
Задача №8.  Попарно различные действительные числа $a,$ $b,$ $c$ удовлетворяют условию: $a^2-b=b^2-c=c^2-a.$ Вычислите значение следующего выражения: $(a+b+1)(b+c+1)(c+a+1).$
комментарий/решение(1)