23-я Балканская математическая олимпиада среди юниоров. Кипр, 2019 год


Задача №1.  Найдите все простые числа $p,$ для которых существуют такие положительные целые числа $x,y,z$, что число $x^p+y^p+z^p-x-y-z$ равно произведению трёх различных простых чисел.
комментарий/решение(7)
Задача №2.  Пусть $a$ и $b$ — два различных действительных числа, и пусть $c$ — такое положительное действительное число, что $a^4 - 2019a = b^4- 2019b = c.$ Докажите, что $-\sqrt c < ab <0.$
комментарий/решение(1)
Задача №3.  Дан треугольник $ABC$ такой, что $AB < AC$. Серединный перпендикуляр к стороне $BC$ пересекает прямые $AB$ и $AC$ в точках $P$ и $Q$ соответственно. Пусть $H$ — ортоцентр треугольника $ABC$, и пусть $M$ и $N$ являются серединами отрезков $BC$ и $PQ$ соответственно. Докажите, что прямые $HM$ и $AN$ пересекаются на окружности, описанной около треугольника $ABC$.
комментарий/решение(1)
Задача №4.  Прямоугольная таблица размером $5 \times 100$ разделена на 500 единичных квадратиков, $n$ из которых покрашены в чёрный цвет, остальные — в белый. Два единичных квадратика называются соседними, если они имеют общую сторону. Каждый из единичных квадратиков в таблице имеет не более двух соседних чёрных единичных квадратиков. Найдите наибольшее возможное значение $n$.
комментарий/решение
результаты