Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 2019 год


Задача №1.  Обозначим через $\mathbb{Z}^+$ множество всех натуральных чисел. Определите все функции $f : \mathbb{Z}^{+} \to \mathbb{Z}^{+}$ такие, что $a^2 + f(a)f(b)$ делится на $f(a) + b$ для всех натуральных чисел $a$ и $b$.
комментарий/решение(1)
Задача №2.  Пусть $m$ фиксированное натуральное число. Бесконечная последовательность $\{a_n \}_{n \ge 1}$ определена следующим образом: $a_1$ — натуральное число и для всех $n \ge 1$ имеем $$ a_{n+1} = \begin{cases} a_n^2 + 2^m & \text{ если } a_n < 2^m\\ a_n/2 & \text{ если } a_n \ge 2^m. \end{cases} $$ Для каждого $m$, определите всевозможные значения $a_1$ такие, что каждый член последовательности является целым числом.
комментарий/решение
Задача №3.  Пусть $ABC$ — неравнобедренный треугольник, $\Gamma$ — его описанная окружность, а $M$ — середина стороны $BC$. Переменная точка $P$ выбирается на отрезке $AM$. Описанные окружности треугольников $BPM$ и $CPM$ пересекают $\Gamma$ вторично в точках $D$ и $E$ соответственно. Прямые $DP$ и $EP$ пересекают (вторично) описанные окружности треугольников $CPM$ и $BPM$ в точках $X$ и $Y$ соответственно. Докажите, что описанные окружности всевозможных треугольников $AXY$ проходят через фиксированную точку $T$, отличную от $A$.
комментарий/решение(1)
Задача №4.  Рассмотрим доску $2018 \times 2019$, у которой в каждой клетке записано целое число. Две клетки называются соседними если у них есть общая сторона. На каждом шаге вы выбираете некоторые клетки. Затем для каждой выбранной клетки высчитывается среднее арифметическое ее соседей. После того как все вычисления произведены, число в каждой выбранной клетке меняется на соответствующее среднее значение. Всегда ли возможно сделать числа во всех клетках одинаковыми после конечного количества шагов.
комментарий/решение
Задача №5.  Определите все функции $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ такие, что $f(x^2 + f(y)) = f(f(x)) + f(y^2) + 2 f(xy)$ для всех действительных чисел $x$ и $y$.
комментарий/решение(1)
результаты