қазақша
русскийАзиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 2019 год
Задача №1. Обозначим через $\mathbb{Z}^+$ множество всех натуральных чисел.
Определите все функции $f : \mathbb{Z}^{+} \to \mathbb{Z}^{+}$ такие, что $a^2 + f(a)f(b)$
делится на $f(a) + b$ для всех натуральных чисел $a$ и $b$.
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Задача №2. Пусть $m$ фиксированное натуральное число. Бесконечная последовательность
$\{a_n \}_{n \ge 1}$ определена следующим образом: $a_1$ — натуральное число
и для всех $n \ge 1$ имеем
$$
a_{n+1} =
\begin{cases}
a_n^2 + 2^m & \text{ если } a_n < 2^m\\
a_n/2 & \text{ если } a_n \ge 2^m.
\end{cases}
$$
Для каждого $m$, определите всевозможные значения $a_1$ такие,
что каждый член последовательности является целым числом.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №3. Пусть $ABC$ — неравнобедренный треугольник, $\Gamma$ — его описанная окружность, а $M$ — середина стороны $BC$.
Переменная точка $P$ выбирается на отрезке $AM$.
Описанные окружности треугольников $BPM$ и $CPM$ пересекают $\Gamma$ вторично в точках $D$ и $E$ соответственно.
Прямые $DP$ и $EP$ пересекают (вторично) описанные окружности треугольников $CPM$ и $BPM$ в точках $X$ и $Y$ соответственно.
Докажите, что описанные окружности всевозможных треугольников $AXY$ проходят через фиксированную точку $T$, отличную от $A$.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №4. Рассмотрим доску $2018 \times 2019$, у которой в каждой клетке записано целое число. Две клетки называются соседними если у них есть общая сторона. На каждом шаге вы выбираете некоторые клетки. Затем для каждой выбранной клетки высчитывается среднее арифметическое ее соседей. После того как все вычисления произведены, число в каждой выбранной клетке меняется на соответствующее среднее значение. Всегда ли возможно сделать числа во всех клетках одинаковыми после конечного количества шагов.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №5. Определите все функции $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ такие, что
$f(x^2 + f(y)) = f(f(x)) + f(y^2) + 2 f(xy)$
для всех действительных чисел $x$ и $y$.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)