Олимпиада Туймаада по математике. Старшая лига. 2019 год


Задача №1.  В последовательности вещественных чисел $a_1$, $a_2$, $\dots$ произведение $a_1a_2$ отрицательно, а при $n > 2$ для вычисления $a_n$ среди всех пар $(i, j)$, $1\leq i < j < n$, которые ранее не выбирались, выбирается одна пара $(i, j)$, для которой $a_i+a_j$ имеет наименьшую абсолютную величину, и полагается $a_n=a_i+a_j$. Докажите, что $|a_i| < 1$ при некотором $i$. ( А. Голованов )
комментарий/решение
Задача №2.  Дана трапеция $ABCD$ с основаниями $BC$ и $AD$. Точки $B'$ и $C'$ симметричны точкам $B$ и $C$ относительно прямых $CD$ и $AB$ соответственно. Докажите, что середина отрезка, соединяющего центры описанных окружностей треугольников $ABC'$ и $B'CD$, равноудалена от точек $A$ и $D$. ( А. Кузнецов )
комментарий/решение
Задача №3.  План картинной галереи — клетчатая фигура, где каждая клетка — это зал, и из любой клетки можно дойти до любой другой, переходя в соседние по сторонам клетки. Смотритель, находясь в одном из залов, следит за всеми залами, в которые можно попасть из этой клетки одним ходом ферзя (не выходя за пределы галереи). Какое наименьшее число смотрителей потребуется, чтобы в любой галерее из $n$ залов ($n > 2$) все залы оказались под присмотром? ( H. Alpert, E. Roldan )
комментарий/решение
Задача №4.  Калькулятор умеет возводить число в квадрат, а также умеет прибавлять 1, но при этом прибавлять 1 два раза подряд нельзя. За несколько таких операций он получил из числа $x$ число $S$, причем $S > x^n+1$ ($x,n, S$ — натуральные). Докажите, что $S\geq x^n+x-1$. ( М. Антипов )
комментарий/решение
Задача №5.  Существуют ли такие 6 натуральных чисел, что наибольший общий делитель каждых двух из них — простое число, не превосходящее 26, и при этом каждое такое простое число является наибольшим общим делителем каких-то двух из этих шести чисел? ( А. Голованов )
комментарий/решение(1)
Задача №6.  Докажите, что ни при каком натуральном $n$ произведение $ (1^4+1^2+1)(2^4+2^2+1)\ldots(n^4+n^2+1) $ не является точным квадратом. ( K. Gaitanas )
комментарий/решение(4)
Задача №7.  На прямоугольной клетчатой доске отмечено $N$ клеток. Пусть $a_i$ — количество отмеченных клеток в $i$-й строке, $b_j$ — количество отмеченных клеток в $j$-м столбце. Докажите, что $\prod_i a_i! \prod_j b_j !\leqslant N!$ ( Ф. Петров )
комментарий/решение
Задача №8.  В треугольнике $ABC$ угол при вершине $B$ тупой, $AB\ne BC$. Точка $O$ — центр описанной окружности $\omega$ этого треугольника, $N$ — середина дуги $ABC$. Окружность, описанная около треугольника $BON$, пересекает отрезок $AC$ в точках $X$ и $Y$. Лучи $BX$ и $BY$ вторично пересекают окружность $\omega$ в точках $Z$ и $T$. Докажите, что точка, симметричная точке $N$ относительно прямой $AC$, лежит на прямой $ZT$. ( А. Кузнецов )
комментарий/решение