Олимпиада Туймаада по математике. Младшая лига. 2019 год


Задача №1.  В последовательности целых чисел $a_1$, $a_2$, $ldots$ произведение $a_1a_2$ отрицательно, а при $n > 2$ для вычисления $a_n$ среди всех пар $(i, j)$, $1\leq i < j < n$, которые ранее не выбирались, выбирается одна пара $(i, j)$, для которой $a_i+a_j$ имеет наименьшую абсолютную величину, и полагается $a_n=a_i+a_j$. Докажите, что $a_i=0$ при некотором $i$. ( А. Голованов )
комментарий/решение
Задача №2.  Треугольник $ABC$, в котором $AB < AC$, вписан в окружность $\omega$. Окружности $\gamma_1$ и $\gamma_2$ касаются прямых $AB$ и $AC$, а их центры лежат на окружности $\omega$. Докажите, что точка $C$ лежит на общей внешней касательной к окружностям $\gamma_1$ и $\gamma_2$. ( А. Кузнецов )
комментарий/решение
Задача №3.  План картинной галереи — клетчатая фигура, где каждая клетка — это зал, и из любой клетки можно дойти до любой другой, переходя в соседние по сторонам клетки. Смотритель, находясь в одном из залов, следит за всеми залами, в которые можно попасть из этой клетки одним ходом ладьи (не выходя за пределы галереи). Какое наименьшее число смотрителей потребуется, чтобы в любой галерее из $n$ залов ($n > 1$) все залы оказались под присмотром? ( H. Alpert, E. Roldan )
комментарий/решение
Задача №4.  На Всероссийской олимпиаде разрешено награждать строго меньше $45\% $ участников. В олимпиаде участвовало более 20 участников. После олимпиады Власти заявили, что результаты низкие, так как доля награждённых заметно отличается от $45\%.$ Жюри ответило, что доля награждённых и так была максимально возможной на этой олимпиаде и даже на любой олимпиаде с меньшим числом участников. Тогда Власти приказали увеличить число участников на следующих олимпиадах с тем, чтобы доля награжденных стала хотя бы в два раза ближе к $45\%.$ Докажите, что количество участников потребуется увеличить хотя бы вдвое. ( А. Голованов )
комментарий/решение
Задача №5.  Можно ли нарисовать на плоскости граф, изображенный на рисунке, так, чтобы вершинам соответствовали различные точки плоскости, а все ребра изображались бы отрезками единичной длины? (Отрезки могут пересекаться в точках, не являющихся вершинами.)

( A. Globus, H. Parshall )
комментарий/решение
Задача №6.  Существуют ли такие 6 натуральных чисел, что наибольший общий делитель каждых двух из них — простое число, не превосходящее 26, и при этом каждое такое простое число является наибольшим общим делителем каких-то двух из этих шести чисел? ( А. Голованов )
комментарий/решение(2)
Задача №7.  Окружность $\omega$ касается сторон $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$ и пересекает сторону $AC$ в точке $K$. Оказалось, что касательная к $\omega$ в точке $K$ симметрична прямой $AC$ относительно прямой $BK$. Чему может быть равна разность $AK-CK$, если $AB=9$ и $BC=11$? ( С. Берлов )
комментарий/решение
Задача №8.  Андрей, Боря, Витя и Гена играют на доске $1000\times 1000$. Ходят по очереди — сначала Андрей, потом Боря, затем Витя и наконец Гена, затем снова Андрей и т.д. Каждым ходом игрок должен закрасить еще незакрашенные клетки, образующие прямоугольник $2\times 1$, $1\times 2$, $1\times 3$ или $3\times 1$. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Докажите, что какие-то трое ребят могут договориться и играть так, чтобы оставшийся заведомо проиграл. ( С. Берлов, Н. Власова )
комментарий/решение