Городская олимпиада по математике среди физ-мат школ г. Алматы, 2019 год


Задача №1.  Пусть $f(x)=x^3-3x[x]\{x\}$.
   а) Существует ли такое число $x_0$, что $f(x_0)=199,\!9$?
   б) Существует ли такое число $x_0$, что $f(x_0)=1,\!999$?
   Здесь $[x]$ обозначает целую часть числа $x$, т. е. наибольшее целое число, не превосходящее $x$, а $\{x\}=x-[x]$.
комментарий/решение(5)
Задача №2.  Дана клетчатая доска размера $2019 \times 2019$. В каждой клетке 2-ой строки стоит по одной белой фишке, а в каждой клетке 2018-ой строки — по одной черной. Двое играют в следующую игру: первый ходит белыми фишками, а второй — черными. За один ход можно передвинуть фишку на любое количество клеток по столбцу (разрешается передвигать фишку как вверх, так и вниз) так, чтобы фишка не вышла за пределы доски, и не перепрыгнула через фишку противника. Проигрывает тот, кто не сможет сделать ход. Может ли кто-нибудь из игроков гарантировать себе победу, и если да, то кто? (Игру начитает первый игрок, а далее ходят по очереди.) ( Абдрахманов А. )
комментарий/решение
Задача №3.  Решите уравнение в целых неотрицательных числах: $x^4+4y^3+5=y^6-6x^2.$ ( Исахов А. )
комментарий/решение(2)
Задача №4.  На отрезке $BC$ треугольника $ABC$ отмечена точка $M$. Пусть $I$, $K$, $L$ — соответственно центры вписанных окружностей $\omega_1$, $\omega_2$, $\omega_3$ треугольников $ABC$, $ABM$, $ACM$. Общая внешняя касательная к окружностям $\omega_2$ и $\omega_3$, отличная от прямой $BC$, пересекает отрезок $AM$ в точке $J$. Известно, что точки $I$ и $J$ не совпадают и лежат внутри $\triangle AKL$. Докажите, что в треугольнике $AKL$ точки $I$ и $J$ изогонально сопряжены. (Внутренние точки $P$ и $P'$ треугольника $ABC$ называются изогонально сопряжёнными, если $\angle ABP=\angle CBP'$, $\angle BAP = \angle CAP'$, $\angle BCP=\angle ACP'$.) ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1)