қазақша
русскийМатематикадан аудандық олимпиада, 2019-2020 оқу жылы, 9 сынып
Есеп №1. Теңбүйірлі $ABC$ үшбұрышында $AB=AC$ және $AB=AC$. Егер $B$ төбесінен түсірілген биссектрисаның ұзындығы 10 болса, $A$ төбесінен түсірілген биіктіктің ұзындығын табыңыз.
комментарий/решение(5)
комментарий/решение(5)
Есеп №2. $n^4-2n^3+23n^2-22n+16$ санын толық квадрат ететін $n$ натурал сандарының
бәрін табыңыз.
комментарий/решение(13)
комментарий/решение(13)
Есеп №3. 100 оқушы қатысқан «Жібек Жолы» олимпиадасында төрт есеп берілді. 1-есепті 90 оқушы, 2-есепті 80 оқушы, 3-есепті 70 оқушы, 4-есепті 60 оқушы шығарды. Ешбір оқушы төрт есептің бәрін шығара алмады. Неше оқушы дәл үш есептен шығарды? Жауабыңызды негіздеңіз.
комментарий/решение(11)
комментарий/решение(11)
Есеп №4. Бізге 1, 3 және 5 цифрларын қолданып жазылған 2019 таңбалы сан берілген. Осы санның бөлгішінің соңғы цифры 7 болса, біз оны көңілді деп атаймыз. Санның бөлгіштерінің жартысынан кемі көңілді болатынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Есеп №5. $ABC$ үшбұрышының ішінен $P$ нүктесі таңдап алынған. Егер $PAB$, $PBC$, $PCA$ үшбұрыштарына сырттай сызылған шеңберлердің радиустары өзара тең болса, $P$ нүктесі $ABC$ үшбұрышының ортоцентрі екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №6. $abc=2$ шартын қанағаттандыратын кез келген оң нақты $a,b,c$ сандары үшін $a^3+b^3+c^3 \ge a \sqrt{b+c}+b\sqrt{c+a}+c\sqrt{a+b}$ теңсіздігін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(5)
комментарий/решение(5)