қазақша
русскийОлимпиада имени Леонарда Эйлера 2018-2019 учебный год, II тур регионального этапа
Задача №1. Сумма четырех целых чисел равна 0. Числа расставили по кругу и каждое умножили на сумму двух его соседей. Докажите, что сумма этих четырех произведений, умноженная на $-1$, равна удвоенному квадрату целого числа.
(
Н. Агаханов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №2. Будем называть две клетки клетчатой таблицы соседями, если у них есть общая сторона. Можно ли покрасить в белой таблице размером $10 \times 10$ клеток 32 клетки в черный цвет так, чтобы у каждой черной клетки было поровну черных и белых соседей, а у каждой белой клетки — не поровну?
(
О. Южаков
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №3. Точка $N$ — середина стороны $BC$ треугольника $ABC,$ в котором $\angle ACB = 60^\circ$. Точка $M$ на стороне $AC$ такова, что $AM = BN.$ Точка $K$ — середина отрезка $BM.$ Докажите, что $AK = KC.$
(
А. Кузнецов
)
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Задача №4. Имеется 70 переключателей и 15 ламп. Каждая лампа соединена с 35 переключателями. Никакие два переключателя не соединены с одним и тем же набором ламп. Нажатие на переключатель меняет состояние всех ламп, с которыми он соединён (включённые выключает и наоборот). Изначально все лампы выключены. Докажите, что можно нажать на какие-то 19 переключателей таким образом, чтобы включилось не менее восьми ламп.
(
С. Берлов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №5. Петя выбирает такие неотрицательные числа $x_1,$ $x_2,$ $\ldots,$ $x_{11},$ что их сумма равна 1. Вася расставляет их в ряд по своему усмотрению, считает произведения соседних чисел и выписывает на доску наибольшее из получившихся десяти произведений. Петя хочет, чтобы число на доске оказалось как можно больше, Вася хочет, чтобы оно было как можно меньше. Какое число окажется на доске при наилучшей игре Пети и Васи?
(
А. Храбров
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)