қазақша
русскийРеспубликанская олимпиада по математике, 2020 год, 10 класс
Есеп №1. $n^4 \ | \ 2m^5 - 1$ және $m^4 \ | \ 2n^5 + 1$ шарттары орындалатындай барлық натурал $(m, n)$ сандар жұптарын анықтаңыз. Бұл жерде $a \ | \ b$ өрнегі $a$ саны $b$ санын бөледі дегенді білдіреді.
(
Сатылханов К.
)
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Есеп №2. Кез келген $x, y \in \mathbb{R}^{+}$ сандары үшін $f(x) f(y) = f \left( \dfrac{xy}{x f(x) + y} \right)$ теңдігі орындалатындай барлық $f : \mathbb{R}^{+} \to \mathbb{R}^{+}$ функцияларын анықтаңыздар. Бұл жерде $\mathbb{R}^{+}$ арқылы нақты оң сандар жиыны белгіленген.
(
Болатов А.
)
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Есеп №3. $ABC$ үшбұрышының $CM$ медианасында $AB^2=4 \cdot MN \cdot MC$ болатындай $N$ нүктесі белгіленген. $AN$ және $BN$ түзулері $\triangle ABC$-ға сырттай сызылған шеңберді екінші рет сәйкесінше $P$ және $Q$ нүктелерінде қияды. $R$ нүктесі — $PQ$ кесіндісіндегі $\angle NRC = \angle BNC$ теңдігі орындалатындай $Q$-ға ең жақын нүкте; $S$ нүктесі — $PQ$ кесіндісіндегі $\angle NSC = \angle ANC$ теңдігі орындалатындай $P$-ға ең жақын нүкте. $RN = SN$ теңдігін дәлелдеңіз.
(
М. Кунгожин
)
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Есеп №4. Марат пен Әлібек екі жаққа шексіз созылған шаршылы жолақта ойын ойнайды. Жолақ шаршылары қатар келген бүтін сандармен солдан оңға қарай нөмірленген ($\ldots$, $-2,$ $-1,$ 0, 1, 2, $\ldots$). Марат өз жүрісінде кез келген бос шаршыға крест қояды, ал Әлібек өз жүрісінде кез келген 2020 бос шаршыларға нөл қояды. Егер Марат, нөмірлері арифметикалық прогрессия құрайтын төрт крест қойылған шаршылар ала алса, онда ол жеңеді. Әлібектің мақсаты — Маратқа төтеп беру. Олар кезектесіп жүреді, және ойынды Марат бастайды. Әлібектің қалай ойнағанына да қарамастан, Марат осы ойынды ұта алады ма?
(
Зиманов А.
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)