Районная олимпиада, 2020-2021 учебный год, 9 класс


Задача №1.  Сколько делителей числа $20! \cdot 21!$ являются точными квадратами или точными кубами? (Для любого натурального числа $n$ величина $n!$ (факториал натурального числа $n$) определяется как произведение всех натуральных чисел от 1 до $n$ включительно: $n! = 1\cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot (n-1) \cdot n.$)
комментарий/решение(2)
Задача №2. На стороне $AB$ остроугольного треугольника $ABC$ выбрана точка $P$ так, что $AP : BP = 2:1.$ Известно, что $AC = CP = 1,$ $\angle BCP = 15^\circ.$ Найдите длину стороны $BC$.
комментарий/решение(3)
Задача №3.  Найдите все пары $(x,y)$ целых чисел, удовлетворяющих равенству $(x+y)^2 =20+20x.$ (После примечания автора, изначальная формулировка с неравенства была изменена на равенство.)
комментарий/решение(3)