қазақша
русскийРайонная олимпиада, 2020-2021 учебный год, 10 класс
Задача №1. На стороне $AB$ остроугольного треугольника $ABC$ выбрана точка $P$ так, что $AP : BP = 2:3.$ Известно, что $AC = CP = 1.$ Найдите величину угла $ACB$, при котором площадь треугольника $ABC$ максимальна. (Из примечания официального решения, данными организаторами, задачу следует решать с условием не для остроугольного треугольника, а для любого.)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №2. Компьютер заражён вирусами. На этот компьютер установили Антивирус. Этот Антивирус борется с каждым вирусом по следующей схеме:
1) сначала он находит вирус,
2) затем помещает найденный вирус в карантин,
3) и, в конце концов, уничтожает вирус.
Над каждым вирусом Антивирус выполняет операции 1-3 строго в указанном порядке, но не обязательно сразу одну за другой. Выполнив одну операцию над каким-то вирусом, он может либо приступить к следующей для этого вируса операции, либо перейти к другому вирусу, выполняя над ним соответствующую операцию.
Известно, что Антивирус вылечил компьютер, уничтожив все 2020 вирусов, которыми был заражён компьютер. Сколькими различными способами Антивирус мог это сделать?
комментарий/решение(1)
1) сначала он находит вирус,
2) затем помещает найденный вирус в карантин,
3) и, в конце концов, уничтожает вирус.
Над каждым вирусом Антивирус выполняет операции 1-3 строго в указанном порядке, но не обязательно сразу одну за другой. Выполнив одну операцию над каким-то вирусом, он может либо приступить к следующей для этого вируса операции, либо перейти к другому вирусу, выполняя над ним соответствующую операцию.
Известно, что Антивирус вылечил компьютер, уничтожив все 2020 вирусов, которыми был заражён компьютер. Сколькими различными способами Антивирус мог это сделать?
комментарий/решение(1)
Задача №3. Найдите все решения арифметического ребуса $New = (((Y! - E)! + A)! - R)!.$ Здесь $New$ — натуральное число, в десятичной записи которого на конце стоят ровно четыре нуля; $Y,$ $E,$ $A,$ $R$ — различные положительные цифры. (Для любого натурального числа $n$ величина $n!$ (факториал натурального числа $n$) определяется как произведение всех натуральных чисел от 1 до $n$ включительно: $n! = 1\cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot (n-1) \cdot n.$)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)