Районная олимпиада, 2020-2021 учебный год, 11 класс


Задача №1.  В треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $CP,$ причём $AC : AP = 2:1.$ Известно, что $\angle CAB = 2\angle CBA.$ Найдите величину наибольшего угла треугольника $ABC.$
комментарий/решение(2)
Задача №2.  Компьютер заражён вирусами. На этот компьютер установили Антивирус. Этот Антивирус борется с каждым вирусом по следующей схеме:
   1) сначала он находит вирус,
   2) затем помещает найденный вирус в карантин,
   3) и, в конце концов, уничтожает вирус.
   Над каждым вирусом Антивирус выполняет операции 1-3 строго в указанном порядке, но не обязательно сразу одну за другой. Выполнив одну операцию над каким-то вирусом, он может либо приступить к следующей для этого вируса операции, либо перейти к другому вирусу, выполняя над ним соответствующую операцию.
   Известно, что Антивирус вылечил компьютер, уничтожив все 2020 вирусов, которыми был заражён компьютер. Сколькими различными способами Антивирус мог это сделать?
комментарий/решение(1)
Задача №3.  Найдите все тройки $(x,y,z)$ натуральных чисел, для которых найдётся такое натуральное число $n,$ что $x!+y!+z!=2^n.$
комментарий/решение(3)