қазақша
русскийЭйлер атындағы олимпиада, 2020-2021 оқу жылы, аймақтық кезеңнің 2 туры
Есеп №1. 3 клеткадан құралған «бұрыш» фигурасының ортаңғы клеткасы деп, қалған екеуімен ортақ қабырғасы бар клетканы атайық. Келесі шартты қанағаттандыратын клеткалы фигура табылады ма: осы клеткалы фигураны бұрыш фигураларына дәл 3 әдіспен бөлуге болады және фигураның әр клеткасы қандай да бір бөлуде бұрыштың ортаңғы клеткасы болады?
(
Д. Демин
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №2. Теңқабырғалы $ABC$ үшбұрышында $M$ нүктесі — $AC$ қабырғасының ортасы. $AM$ және $BC$ кесінділерінде сәйкесінше $P$ және $R$ нүктелері $AP = BR$ болатындай белгіленген. $\angle ARM + \angle PBM + \angle BMR$ қосындысын есептеңіз.
(
С. Берлов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №3. Алдымен Саша, квадраттың қабырғасында жатқан екі нүктені түзу сызықпен қосу арқылы, қабырғасы 2-ге тең болатын квадратты 2020 бөлікке бөледі. Одан кейін Дима әр бөліктен дөңгелекті кесіп алады. Дима осы дөңгелектердің радиустарының қосындысы әрқашан да 1-ден кем болмайтындай етіп кесу жүргізе алатынын дәлелдеңіз.
(
А. Кузнецов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №4. 2-ден үлкен натурал $n$ саны берілген. Егер $n!+n^3+1$ саны жай сан болса, онда $n^2+2$ санын екі жай санның қосындысы ретінде жазуға болатынын дәлелдеңіз.
(
Д. Демин
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №5. $2021 \times 2021$ квадрат тақтасында натурал сандар жазылған. Тақтаның кез келген қатарын немесе бағанын таңдап алып, келесі операцияның біреуін жасауға рұқсат: 1) Таңдалған әр санға 1-ді қосуға болады. 2) Таңдалған әр санды қандай да бір натурал санға бөлуге болады. Осындай бірнеше операциялардан кейін тақтадағы барлық сандар 1-ге тең болатындай жасай аламыз ба?
(
М. Дидин
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)