Леонард Эйлер атындағы олимпиада, 2020-2021 оқу жылы, қорытынды кезеңнің 1-ші туры

Есеп №1.  $y = ax+b,$ $y = bx+c,$ $y = cx+d,$ $y = dx+a$ түзулері квадрат қабырғаларын шектейді. Осы квадраттың ауданы нешеге тең болуы мүмкін? Барлық мүмкін жағдайларды көрсетіңіз. ( И. Рубанов )
комментарий/решение(1)

---

Есеп №2.  Ажалсыз Кощей «Спёрбанк» банкінде шот ашты. Алғашында шотта 0 тг болды. Бірінші күні Кощей өз шотына $k$ $(k > 0)$ тг салды. Ал әрбір келесі күні алдыңғы күнге қарағанда 1 тг артық салып отырған (яғни екінші күні $k+1$ тг, үшінші күні $k+2$ тг, т.с.с. кете береді). Бірақ әрбір салымыннан кейін, мезетте есеп шоттың жалпы мөлшері екі есе азайып отырған. Кощейдің есеп шоттындағы ақша мөлшері әрқашанда бүтін сан болып отыратындай барлық $k$ сандарын табыңыз. ( С. Берлов )
комментарий/решение(1)

---

Есеп №3.  $ABC$ үшбұрышында $AB$ және $BC$ қабырғаларында сәйкесінше $P$ және $Q$ нүктелері белгіленген. $CP$ және $AQ$ кесінділері $R$ нүктесінде қиылысады. $AR = CR = PR+QR$ екені белгілі. Бір бұрышы $B$ бұрышына тең болатындай, $AP,$ $CQ$ және $PQ$ кесінділерінен үшбұрыш құрауға болатынын дәлелдеңіз. ( С. Берлов )
комментарий/решение(3)

---

Есеп №4.  Бірнеше командалар бір айналымды турнирде ойын ойнаған және ешқандай ойында тең нәтижелер болмаған. Кез-келген 100 команда арасында, олардың 99-ның барлығын жеңген бір команданың табылатыны, бірақ кез-келген 100 команда арасында олардың 99-ның барлығына жеңілген команда табылмайтыны белгілі. Турнирде ең көп дегенде қанша команда қатысуы мүмкін? ( К. Тыщук, Н. Власова, В. Мигрин )
комментарий/решение(1)

---