Республиканская олимпиада по математике, 2021 год, 9 класс


Задача №1.  Пусть $a,b,c$ — положительные действительные числа такие, что $a+b+c+\dfrac{1}{abc}=\dfrac{19}{2}.$ Найдите наибольшее возможное значение $a$. ( Ануарбеков Т. )
комментарий/решение(9)
Задача №2.  На полке стоят в беспорядке 100 томов энциклопедии, занумерованных всеми натуральными числами от 1 до 100. За одну операцию можно взять и любым способом переставить на своих местах любые три тома (т.е. если эти тома стояли в местах $a,b,c$, то после этой операции эти тома также будут стоять в местах $a,b,c$, но возможно в другом порядке). При каком наименьшем $m$ можно утверждать, что $m$ такими операциями удастся расставить все тома по порядку, как бы они ни были расставлены первоначально? (Тома стоят по порядку, если 1-й том стоит на 1-м месте, 2-й том на 2-м, ..., 100-й том на 100-м месте.) ( А. Голованов )
комментарий/решение(5)
Задача №3.  Продолжения сторон $AB$ и $CD$ выпуклого четырехугольника $ABCD$ пересекаются в точке $P$, а диагонали $AC$ и $BD$ — в точке $Q$. Точки $M$ и $N$ — середины диагоналей $AC$ и $BD$ соответственно. Описанные окружности треугольников $BCQ$ и $MNQ$ пересекаются в точке $T$ ($T\ne Q$). Докажите, что если $\angle APD =90^\circ$, то прямая $PT$ делит отрезок $MN$ пополам. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1)
Задача №4.  Треугольник $ABC$ ($AC > BC$) вписан в окружность $\omega$. Биссектриса $CN$ этого треугольника пересекает $\omega$ в точке $M$ ($M\ne C$). На отрезке $BN$ отмечена произвольная точка $T$. Пусть $H$ — ортоцентр треугольника $MNT$. Описанная окружность треугольника $MNH$ пересекает $\omega$ в точке $R$ ($R\ne M$). Докажите, что $\angle ACT = \angle BCR$. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(2)
Задача №5.  Существуют ли попарно различные натуральные числа $a_1,a_2, \ldots, a_{100}$, одновременно удовлетворяющие следующим условиям:
i) число $a_1a_2\ldots a_{100}$ делится на $a_i+a_j$ при всех $1\le i < j\le 100$;
ii) для каждого $k=1,2,\ldots ,100$ найдутся индексы $i,j$ такие, что $1\le i < j\le 100$ и число $a_1a_2\ldots a_{k-1}a_{k+1}\ldots a_{100}$ не делится на $a_i+a_j$? ( А. Голованов )
комментарий/решение(1)
Задача №6.  Дано натуральное число $n$. Последовательность $(x_1,x_2, \ldots, x_n)$ действительных чисел называется хорошей, если $x_1^3+x_2^3+\ldots +x_i^3=(x_1+x_2+ \ldots+ x_i)^2$ для каждого $i=1,2, \ldots,n$. Докажите, что количество различных хороших последовательностей не больше чем ${3^{n-1}+2^{n-1}}$. (Последовательности $(x_1,x_2, \ldots, x_n)$ и $(y_1,y_2, \ldots, y_n)$ считаются различными, если $x_i\ne y_i$ хотя бы для одного $i=1,2, \ldots, n$.) ( Н. Седракян )
комментарий/решение(4)
результаты