Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 2021 год

Задача №1.  Докажите, что для каждого вещественного числа $r > 2$ существуют ровно два или три положительных вещественных числа $x$, удовлетворяющих равенству $x^2 = r[x]$. (Здесь $[x]$ обозначает наибольшее целое число, не превосходящее $x$).
комментарий/решение(2)

---

Задача №2.  Для многочлена $P$ и натурального числа $n$ обозначим через $P_n$ количество пар натуральных чисел $(a, b)$ таких, что $a < b\leq n$ и $ |P(a)|-|P(b)|$ делится на $n$. Найдите все многочлены $P$ с целыми коэффициентами такие, что $P_n\leq 2021$ для всех натуральных $n$.
комментарий/решение(2)

---

Задача №3.  Пусть $ABCD$ — вписанный выпуклый четырехугольник, и $\Gamma $ — его описанная окружность. Пусть $E$ — точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$; $L$ — центр окружности, касающейся отрезков $AB$, $BC$, $CD$; $M$ — середина той из дуг $BC$ окружности $\Gamma$, которая не содержит точек $A$ и $D$. Докажите, что центр вневписанной окружности треугольника $BCE$ напротив вершины $E$ лежит на прямой $LM$.
комментарий/решение(1)

---

Задача №4.  На клетчатом столе $32\times 32$ в левой нижней клетке сидит мышь (и смотрит вперёд на верхнюю от нее клетку), а еще в нескольких других клетках разложены куски сыра. Мышь начинает двигаться. Она двигается вперед до тех пор, пока не попадет в клетку с сыром, далее мышь съедает часть сыра, поворачивает направо и продолжает ползти прямо. Назовем множество клеток, содержащих сыр, хорошим, если в этом процессе мышь попробует каждый кусок сыра ровно по одному разу и после этого свалится со стола. Докажите, что:
   (a) Не существует хорошего множества, состоящего из 888 клеток.
   (b) Существует хорошее множество, состоящее из не менее чем 666 клеток.
комментарий/решение(4)

---

Задача №5.  Найдите все функции $f: \, \mathbb{Z}\to \mathbb{Z}$ такие, что $f (f(a)-b)+bf(2a)$ является точным квадратом при любых целых $a$ и $b$.
комментарий/решение(1)

---