Олимпиада Туймаада по математике. Младшая лига. 2021 год


Задача №1.  Квадратные трехчлены $F$ и $G$ таковы, что $F(F(x)) > F(G(x)) > G(G(x))$ для всех вещественных $x.$ Докажите, что $F(x) > G(x)$ для всех вещественных $x.$ ( В. Франк )
комментарий/решение(1)
Задача №2.  Биссектриса угла $B$ параллелограмма $ABCD$ пересекает диагональ $AC$ в точке $E,$ а внешняя биссектриса угла $B$ пересекает прямую $AD$ в точке $F.$ Точка $M$ — середина отрезка $BE.$ Докажите, что прямые $CM$ и $EF$ параллельны. ( А. Кузнецов )
комментарий/решение
Задача №3.  Дано $n$ различных натуральных чисел. Рассмотрим все $n(n - 1)/2$ попарных сумм этих чисел. Для каждой из этих попарных сумм на доску выписали количество исходных чисел, меньших этой суммы, на которые эта сумма делится. Какое наибольшее значение может принимать сумма выписанных на доске чисел? ( С. Берлов )
комментарий/решение
Задача №4.  В деревне некоторые пары домов соединены дорогами. Жильцы домов, соединённых дорогой, называются соседями. Всегда ли в каждый из этих домов можно поселить рыцаря, который всегда говорит правду, либо лжеца, который всегда лжёт, чтобы каждый житель смог сказать фразу «среди моих соседей лжецов хотя бы вдвое больше, чем рыцарей»? ( С. Берлов )
комментарий/решение
Задача №5.  На доске $100 \times 100$ отмечено 110 клеток. Верно ли, что можно так переставить строки и столбцы, чтобы все клетки отмеченные оказались не ниже главной диагонали? ( М. Антипов )
комментарий/решение
Задача №6.  Даны вещественное число $y > 1$ и натуральное число $n \le y^{50},$ у которого все простые делители не превосходят $y.$ Докажите, что $n$ можно разложить в произведение 99 натуральных множителей (не обязательно простых), каждый из которых не превосходит $y.$ ( G. Martin, A. Parvardi )
комментарий/решение
Задача №7.  Есть куча из $2021^{2021}$ камней. За один ход можно разбить любую кучу на две части, количества камней в которых отличаются на степень двойки с целым неотрицательным показателем. После нескольких ходов оказалось, что количество камней в каждой кучке — степень двойки с целым неотрицательным показателем. Докажите, что было сделано четное число ходов. ( М. Антипов )
комментарий/решение
Задача №8.  Дан остроугольный треугольник $ABC,$ $AC \ne BC.$ Высоты, поведенные из вершин $A$ и $B,$ пересекаются в точке $H$ и пересекают биссектрису внешнего угла $C$ в точках $Y$ и $X$ соответственно. Биссектриса внешнего угла $AHB$ пересекает отрезки $AX$ и $BY$ в точках $P$ и $Q$ соответственно. Докажите, что если $P X = QY,$ то $AP + BQ > 2CH.$ ( Д. Ширяев, Е. Лопатин )
комментарий/решение