қазақша
русскийОбластная олимпиада по математике, 2011 год, 11 класс
Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке
Задача №1. Пусть $ABC$ — треугольник с целочисленными длинами сторон. Биссектриса, проведенная из вершины $B$, и высота, опущенная из вершины $C$, пересекаются внутри треугольника в точке $P$. Докажите, что отношение площадей треугольников $APB$ и $APC$ — рациональное число.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №2. Пусть $p$ — простое число. Найдите количество всех упорядоченных троек $(a,b,c)$, удовлетворяющих двум условиям:
i) числа $a,b,c$ принадлежат множеству $\lbrace1,2, \dots ,2p^2\rbrace$;
ii) $\dfrac{[a,c]+[b,c]}{a+b}=c \cdot \dfrac{p^2+1}{p^2+2} $, где $[x,y]$ обозначает наименьшее общее
кратное чисел $x$ и $y$.
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Задача №3. Пусть $A=1-{{2}^{-2011}}$. Докажите, что $A+{{A}^{2}}+{{A}^{4}}+\dots +{{A}^{{{2}^{1000000000}}}}<2012$.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №4. У кассирши в одной пачке 200 денежных купюр. Она должна все купюры в пачке перевернуть лицевой стороной вверх, причем порядок купюр в пачке не имеет значения. На каждом шагу она выбирает некоторое количество купюр, лежащих в пачке подряд, и переворачивает всю выбранную часть пачки. Найдите наименьшее возможное число шагов, которого достаточно при любом изначальном положении купюр, чтобы перевернуть все имеющиеся в пачке купюры лицевой стороной вверх.
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №5. Найдите все строго возрастающие функции $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ такие, что для любых вещественных $x$ и $y$, $x\neq y$, выполняется соотношение
$$
\frac{{2\left( {f\left( y \right) - f\left( {\frac{{x + y}}{2}} \right)} \right)}}{{f\left( x \right) - f\left( y \right)}} = \frac{{f\left( x \right) - f\left( y \right)}}{{2\left( {f\left( {\frac{{x + y}}{2}} \right) - f\left( x \right)} \right)}}.
$$
Здесь $\mathbb{R} $ обозначает множество вещественных чисел.
комментарий/решение(5)
комментарий/решение(5)
Задача №6. В треугольнике углы $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ противолежат сторонам $a$, $b$, $c$
соответственно. Докажите неравенство
$$
a\left( {\frac{1}{\beta } + \frac{1}{\gamma }} \right) + b\left( {\frac{1}{\alpha } + \frac{1}{\gamma }} \right) + c\left( {\frac{1}{\alpha } + \frac{1}{\beta }} \right) \geqslant 2\left( {\frac{a}{\alpha } + \frac{b}{\beta } + \frac{c}{\gamma }} \right).
$$
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)