Олимпиада имени Леонарда Эйлера2013-2014 учебный год, I тур заключительного этапа

Докажите, что в разложение произведения десяти последовательных трёхзначных чисел на простые множители входит не больше 23 различных простых чисел. ( И. Рубанов )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Решение. Заметим, что в разложение трёхзначного числа на простые множители входит не более двух множителей, больших 10 — иначе произведение будет больше 1000. Кроме того, среди 10 последовательных натуральных чисел есть число, делящееся на 10, в разложение которого входит максимум один множитель, больший 10. Таким образом, в разложения десяти последовательных трёхзначных чисел входит не больше 19 простых множителей, больших 10. Вместе с множителями 2, 3, 5, 7 получается не больше 23 различных простых множителей, что и требовалось доказать.

Пусть на простые множители входит 23 различных простых делителей. Тогда их произведения не меньше $2\cdot 3\cdot 5\cdot ...\cdot 83=267 064 515 689 275 851 355 624 017 992 790$(33 цифр в десятичной запист). Но произведения десяти последовательных трехзначных чисел не больше $990\cdot 991\cdot 992\cdot ... \cdot 999=946 302 006 874 353 533 242 950 988 800$(30 цифр в десятичной записи). Противоречие