5-ші «Жібек жолы» математикалық олимпиадасы, 2005 жыл

Бір түзудің бойынан $A$, $B$ және $C$ нүктелері $B$ $A$ мен $C$ арасында жататындай алынған. $AA'$ және $BB'$ өзара параллель түзулер, ал $A'$ пен $B'$ нүктелері $AB$ түзуінің бір жағында жататын және $A'$, $B'$, $C$ нүктелері бір түзудің бойында жатпайтындай болсын. $AA'C$ үшбұрышна сырттай сызылған шеңбер центрі $O_1$, ал $BB'C$ үшбұрышна сырттай сызылған шеңбер центрі $O_2$ болсын. Егер $A'CB'$ және $O_1CO_2$ үшбұрыштарының аудандары тең болса, онда $CAA'$ бұрышының барлық мүмкін мәнін анықтаңыз.

Комментарий/решение

Так как $AA'||BB'$ из леммы Фусса для окружностей $(A'AC)$ и $(B'BC)$ и секущей $AB$ получаем, что $A'B'$ проходит через вторую точку пересечения этих окружностей $D$. $\angle DB'C=\angle O_1O_2C, \angle DA'C=\angle O_2O_1C$, откуда $\triangle O_1O_2C\sim \triangle A'B'C$, но из равенства площадей следует абсолютное равенство с точностью до наоборот. $CO_2$, радиус окружности с центром $O_2$, должен быть равен какой-то хорде $CB'$ и тут же можно помянуть неправильность треугольника $O_2B'C$ ($A'O_1C$ также),откуда следует, что либо оба возможных угла (следствие биполярности мира сего) $CAA'$ дополняют друг друга до $180^\circ$, а один из них $\frac{60^\circ}{2}=30^\circ$, откуда второй нетрудным счетом равен $150^\circ$.