8-я Международная Жаутыковская олимпиада, 2012 год

Многочлены $P$, $Q$, $R$ с вещественными коэффициентами таковы, что многочлен $P(Q(x))+P(R(x))$ — постоянный. Докажите, что хотя бы один из многочленов $P(x)$ и $Q(x)+R(x)$ является постоянным.

Комментарий/решение

(Если $P(x) - $ константа, задача решена).

Докажем первый факт :

$(1)\deg Q = \deg R$. Предположим обратное. Б.О.О $\deg Q > \deg R$.

Заметим т.к $P(Q(x)) + P(R(x))$ имеет степень $ \deg P + \deg Q$ и коэффициент перед этой степенью ненулевой , противоречие. $\blacksquare$

Поделим задачу на два случая:

$i)P(x) -$ многочлен нечётной степени. Собственно тогда $P(Q(x))+P(R(x))$ делится на $Q(x) + R(x)$ , отсюда очевидно следует , что $Q(x) + R(x)-$ константа.

$ii) P(x)-$ многочлен четной степени . Пусть $P(Q(x)) + P(R(x)) = c$. Тогда при $x$ стремящимся к бесконечности, значения $|Q(x)|, |R(x)|-$ тоже стремятся к бесконечности. Соответственно подобрав такой большой $x$ и т.к степень многочлена $P(x)-$ четная, то $|P(Q(x)) + P(R(x))| > c$, противоречие.