4-я Международная Жаутыковская олимпиада, 2008 год

Непересекающиеся окружности $\omega_1$ и $\omega_2$ с центрами $O_1$ и $O_2$ касаются прямой $\ell$ в точках $A_1$ и $A_2$ соответственно (окружности лежат по одну сторону от $\ell$). Точка $K$ — середина отрезка $A_1A_2$. На окружностях $\omega_1$ и $\omega_2$ выбраны точки $B_1$ и $B_2$ соответственно так, что прямые $KB_1$ и $KB_2$ касаются $\omega_1$ и $\omega_2$ соответственно (точка $B_1$ отлична от $A_1$, а точка $B_2$ отлична от $A_2$). Прямые $A_1B_1$ и $A_2B_2$ пересекаются в точке $L$, а прямые $KL$ и $O_1O_2$ — в точке $P$. Докажите, что точки $B_1$, $B_2$, $P$ и $L$ лежат на одной окружности.

Комментарий/решение

Докажем, что $L$ лежит на радикальной оси $\omega_1$ и $\omega_2$. Так как $B_1K=A_1K=A_2K=B_2K$, то точки $A_1, A_2, B_1, B_2$ лежат на окружности с центром $K$ и радиусом $A_1K$, скажем $\Omega$. Заметим, что $L$ радикальный центр $\omega_1, \omega_2, \Omega$. Получаем, что $KL$ - радикальная ось окружностей $\omega_1$ и $\omega_2$. Откуда следует, что $O_1O_2 \bot KL$. Пусть $KO_1\cap A_1B_1=X$, $A_2B_2\cap KO_2=Y$. Легко получить, что $XL\bot KO_1$, откуда можно получить, что $X, O_1, P, L$ лежат на одной окружности. Аналогично $P, O_2, Y, L$ лежат на одной окружности. Тогда $KP\cdot KL=KX\cdot KO_1={KB_1}^2={KA_1}^2\Leftrightarrow \frac{KP}{KB_1}=\frac{KB_1}{KL}$. Значит треугольник $KPB_1$ подобен $KB_1L$. Откуда следует, что $\angle KB_1P=\angle KLB_1$, аналогично $\angle KB_2P=\angle KLB_2$, посчитав уголки можно убедится в том, что $\angle B_1KB_2=180-2\cdot B_1LB_2=180-2\cdot(\angle B_1KL+\angle B_2KL)$, тогда $\angle B_1PB_2=180-\angle B_1LB_2$. Значит $\angle B_1PB_2+\angle B_1LB_2=180$, что и требовалось.

Заметим, что точка $K$ лежит на радикальной оси окружностей $\omega_1$ и $\omega_2$. Также имеем $KA_1=KB_1=KA_2=KB_2 => B_1A_1A_2B_2-$ вписан. Откуда $LB_1 \cdot LA_1= LB_2 \cdot LA_2 => L$ лежит на радикальной оси окружностей $\omega_1$ и $\omega_2$. Откуда $KL -$ радикальная ось окружностей $\omega_1$ и $\omega_2$. Из чего следует $O_1O_2 \bot KL$.

Докажем, что $PB_1A_1K, PB_2A_2K-$ вписанные четырехугольники.

Что верно потому что, точки $P, B_1, A_1, K$ лежат на окружности с диаметром $O_1K$. Аналогично доказываем, что $PB_2A_2K-$ вписан. Откуда рассмотрим $\triangle LA_1B_1$. На его сторонах выбрали $B_1, K, B_2$, т.к $PB_1A_1K, PB_2A_2K-$ вписанные четырехугольники. То $P-$ точка Микеля, откуда $LB_1PB_2$ тоже вписан.