Математикадан Алматы қаласының олимпиадасы, 2013 жыл

$ABC$ үшбұрышының $(\angle B\ne 90{}^\circ )$ $A{{A}_{1}}$ биіктігінен $A$ және ${{A}_{1}}$ нүктелерімен беттеспейтін $F$ нүктесі алынған. $BF$ және $CF$ түзулері сәйкесінше $AC$ және $AB$ түзулерімен ${{B}_{1}}$ және ${{C}_{1}}$ нүктелерінде қиылысады. $B$ және $F$ нүктелерінен ${{A}_{1}}{{B}_{1}}$ және ${{A}_{1}}{{C}_{1}}$ түзулеріне сәйкесінше $BP$, $BQ$, $FS$, $FR$ перпендикулярлары түсірілген. $PQ$, $SR$ және $B{{B}_{1}}$ түзулерінің бір нүктеде қиылысанынын дәлелдеңіздер.
а) Есепті $F$ — $ABC$-ның биіктіктер қиылысу нүктесі боған жағдай үшін шығарыңыздар.
б) Есепті кез келген $F$ нүктесі үшін шығарыңыздар.

Комментарий/решение

Из теоремы Бланше следует, что $A_1F$ и $A_1B$ являются биссектрисами смежных углов, откуда задача переходит в эту. Доказательство этой задачи:

$P$ зафиксируем. Линейное движение точки $Q$ дает не менее линейное движение $AB\cap CD=R$, так как $AB$ фиксировано, а точки $C,D$ движутся с одной скоростью из вершины угла. Для доказательства совпадения прямых $PQ$ и $PR$ достаточно рассмотреть тривиальные положения.