Городская Жаутыковская олимпиада, 9 класс, 2005 год

Разность двух четырехзначных чисел равна 7. На сколько могут отличаться суммы их цифр?

Комментарий/решение

Ответ: на 7 или на $2+9k$, где $k$ -- целое неотрицательное число. В первом случае сумма чисел у большего числа больше, во втором -- меньше.

Пусть $\overline{a_n a_{n-1}\dots a_1}$ произвольное число, обозначим через $S$ сумму $\sum_{i=1}^n a_i$.

Если $a_1=0,1,2$, то сумма цифр второго числа равна $S+7$.

Если же $a_1 \geqslant 3$, то происходит переход через разряд, а далее все зависит от того, сколько девяток подряд идут начиная со второй с конца цифры:

Если меньшее число $\overline{a_n a_{n-1}\dots a_{k+1}9 \dots 9 a_1}$, где $a_{k+1}<9$, то $S=\sum_{i=k+1}^n a_i+a_1+9(k-1)$. Тогда большее число равно

$\overline a_n a_{n-1} \dots (a_{k+1}+1) 0\dots 0(a_1-3$ и его сумма цифр равна

$\sum_{i=k+1}^n a_i+1+a_1-3=\sum_{i=k+1}^n a_i+a_1-2=S-9(k-1)+2$, где $k \geqslant 1$ (это если вторая цифра не 9). Отсюда и получаем требуемое.

Если все цифры кроме последней равны 9, а последняя больше 2, то можно формально считать, что в числе на одну цифру больше и эта первая цифра равна 0, после чего можно воспользоваться описанным во втором случае.

ну да, забыл что числа четырехзначные, выдал общее решение, для четырехзначных возможные значения 2,7,11, 20, так как отличной от 9 может быть 2,3 или 4 цифра. Вариант, когда первые три цифры девятки -- отпадает, так как оба числа четырехзначные.