13-я Балканская математическая олимпиада среди юниоровСараево, Босния и Герцеговина, 2009 год

Каждый из 2009 различных точек на плоскости покрашена в синий или красный цвет так, что на каждой единичной окружности с синим центром лежит ровно две красные точки. Найдите максимально возможное количество синих точек.

Комментарий/решение

Пусть красных точек будет $S$, тогда синих точек будет $2009-S$, заметим, что для 2 красных точек существует не больше 2 синих точек, окружности в центре, которых проходят через эти 2 точки. Тогда синих не больше чем $S(S-1)$, значит $S(S-1) \geq 2009-S$, т.е $S^2 \geq 2009$, значит $S \geq 45$, а $2009-S \leq 1964$.

Пример: возьмём 45 красных на прямой, для каждой пары красных определим свою синюю точку. Получаем 1980 синих точек и удалим 16 любых синих точек, пример остаётся корректным.

Абулмансур, решение красивое, однако в примере есть недочет: синих точек окажется 1980, что больше, чем 1964. То есть пример некорректный.

Удалите пару ненужных синих точек уважаемый, от этого правильность примера не поменяется

Вы сказали, что для каждой пары красных точек определим пару синих, то есть вы утверждаете, что синих точек 1980. В этом и ошибка, за что на олимпиаде вам бы сняли балл, прошу подкорректировать.

Я про саму олимпиаду JBMO. Если бы вы так написали, то вам бы сняли балл. Прошу редактировать решение и дописать, что требуется удалить пару точек. Иначе пример неправильно приведен.

Обосравшись по этой задаче на Миразовой, Абулмансур узнав от меня, что это задача с JBMO 2009, пошел писать решение на матол, умно

В следующем году, буду чалить все олимпы с матола, чтобы взять АБС 1 на Миразовой.

Газель

Примечательно то, что данную задачу дали в этом году на олимпиаде имени Аягуль Миразовой, но количество точек поменяли на 2025.

Они дали P10 из рег этапа Эйлера в 1 туре, лучшая олимпиада