47-я Международная Математическая OлимпиадаСловения, Любляна, 2006 год

Каждой стороне $b$ выпуклого многоугольника $P$ поставлена в соответствие наибольшая из площадей треугольников, содержащихся в $P$, одна из сторон которых совпадает с $b$. Докажите, что сумма площадей треугольников, соответствующих всем сторонам многоугольника $P$, не меньше удвоенной площади этого многоугольника.

Комментарий/решение

Пусть выпуклый многоугольник $P$ имеет вершины

\[A_1(x_1,y_1), A_2(x_2,y_2), \dots, A_n(x_n,y_n),\]

обход которых идет против часовой стрелки. Обозначим стороны

$b_i = A_iA_{i+1}$, где $A_{n+1}=A_1$.

По формуле Гаусса площадь $P$ выражается как

\[S(P) = \frac12 \left| x_1 y_2+x_2 y_3+\dots+x_{n-1}y_{n}+x_{n}y_1 - x_2 y_1 - x_3 y_2-\dots - x_{n} y_{n-1}-x_1y_{n} \right|.\]

Рассмотрим произвольную точку $X=(x,y)\in P$. Площадь треугольника

$A_i A_{i+1} X$ равна

\[S_i(X) = \frac12 \left| (x_i y_{i+1}+x_{i+1}y+xy_i - x_{i+1}y_{i}-xy_{i+1}-x_iy) \right|.\]

Это линейная функция от $(x,y)$. Так как $P$ — выпуклый многоугольник,

максимум площади треугольника с основанием $b_i$ достигается в одной из вершин

многоугольника. Обозначим

\[T_i = \max_k S(A_i A_{i+1} A_k).\]

Тогда

\[\sum_{i=1}^n T_i \ge \sum_{i=1}^n S(A_i A_{i+1} A_{i+2}),\]

Площадь треугольника $A_i A_{i+1} A_{i+2}$ можно записать как

\[S(A_i A_{i+1} A_{i+2}) = \frac12 \left| (x_i y_{i+1} - x_{i+1} y_i) + (x_{i+1} y_{i+2} - x_{i+2} y_{i+1}) + (x_{i+2} y_i - x_i y_{i+2}) \right|.\]

Суммируя по всем $i$, каждое слагаемое $(x_j y_{j+1} - x_{j+1} y_j)$ встречается ровно дважды.

Таким образом,(сумма модулей $\ge$ модуль суммы)

\[\sum_{i=1}^n S(A_i A_{i+1} A_{i+2}) \ge 2 S(P).\]

Следовательно,

\[\sum_{b} T(b) = \sum_{i=1}^n T_i \ge 2 S(P),\]

что и требовалось доказать. Тривиальная идея.