55-я Международная Математическая OлимпиадаЮжно-Африканская Республика, Кейптаун, 2014 год

Точки $P$ и $Q$ выбраны на стороне $BC$ остроугольного треугольника $ABC$ так, что $\angle PAB=\angle BCA$ и $\angle CAQ=\angle ABC$. Точки $M$ и $N$ выбраны на прямых $AP$ и $AQ$ соответственно так, что $P$ — середина отрезка $AM$, а $Q$ — середина отрезка $AN$. Докажите, что прямые $BM$ и $CN$ пересекаются на окружности, описанной около треугольника $ABC$.

Комментарий/решение

Пусть $X \equiv BM \cap CN$.

$\frac{NQ}{QC} = \frac{AB}{QC} = \frac{BP}{AP} = \frac{BP}{PM}$, причем $\angle CQN = \angle BPM = 180 - \angle A$, Из чего следует что $\triangle{NCQ} \sim \triangle{BMP}$; то есть, $\angle QBX = \angle QNX$, так что $BQXN$ вписанный

Теперь заметим что $\angle BXC = 180 - \angle BXN = 180 - \angle BQN = 180 - \angle AQC = 180 - \angle A$

Заметим,что касательные к описанной окружности $ABC$ в точках $B,C$ параллельны прямым $AP,AQ$ соответственно.Пусть касательные к описанной окружности треугольника $ABC$ проведенные из вершин $B,C$ пересекаются в точке $X$ а вот $XA\cap (ABC)=A,D;AP\cap BD=M’;CD\cap AQ=N’$ тогда $(AM’;PP_{\infty})\stackrel{B}{=}(AD;CB)=-1\Leftrightarrow M=M’$.Аналогично $N=N’$ откуда вытекает условие задачи