Республиканская олимпиада по математике, 2016 год, 10 класс

Бесконечная строго возрастающая последовательность $\{a_n\}$ положительных чисел удовлетворяет соотношению $$a_{n+2}=(a_{n+1}-a_n)^{\sqrt{n}}+n^{-\sqrt{n}}$$ для каждого натурального $n$. Докажите, что для любого $C>0$ существует такое натуральное $m(C)$ (зависящее от $C$), что $a_{m(C)}>C$. ( Сатылханов К. )

Комментарий/решение

Решение. Если найдется $n>1$, что $a_{n+1}-a_n<\frac 1 2$. Тогда $a_{n+2} <{ \frac 1 2}^{\sqrt n} +{\frac 1 n}^{\sqrt n} <\frac 1 2+\frac 1 2=1$, что противоречит $a_3>1$. Значит, $a_{n+1}=(a_{n+1}-a_n)+(a_n-a_{n-1})+⋯+(a_3-a_2)+a_2>\frac 1 2 \cdot (n-1)$, и последовательность неограничена.

Пусть последовательность ограничена ,тогда так как она возрастает значит у нее есть предел.То есть:

$\forall n$, $\mathop {\lim } \limits_{n \to \infty}a_n=L>0$ отсюда:

$\mathop {\lim } \limits_{n \to \infty}(a_{n+1}-a_n)^{\sqrt{n}}=0$ и также

$\mathop {\lim } \limits_{n \to \infty}n^{-\sqrt{n}}= \mathop {\lim } \limits_{n \to \infty}e^{-\infty}=0$

Значит предел левой стороны равен $L$ , а предел правой равен $0$ что не возможно значит последовательность не ограничена.